§ 1.07. Теорема Арнольда о существовании условно-периодических решений гамильтоновых систем
Пусть движение объекта описывается гамильтоновой системой 
порядка
с аналитическим по всем переменным 
и 
и периодическим по 
гамильтонианом 
где 
— малый параметр. Фазовое 
-мерное пространство переменных 
является прямым произведением 
-мерного тора на область 
-мерного евклидова пространства.
Если гамильтониан зависит только от переменных 
то уравнения (10.1.41) принимают вид
Уравнения (10.1.42) легко интегрируются, и мы имеем
Каждый тор 
инвариантен, и если частоты 
несоизмеримы, то мы имеем условно-периодическое движение на торе 
с частотами 
Основной вопрос, который возникает при рассмотрении гамильтоновых систем (10.1.41), можно сформулировать следующим образом: существуют ли у системы инвариантные торы, близкие к тору 
и имеет ли движение на этих торах условно-периодический характер? Этот вопрос в последние десятилетия рассматривался К. Зигелем [6], А. Н. Колмогоровым [35], В. И. Арнольдом [36], Ю. Мозером [37], [38]. Позднее существенные обобщения были сделаны в работах [39], [40].
Ниже мы приводим теорему Арнольда [36] о существовании условно-периодических движений для системы (10.1.41).
В задачах небесной механики не все компоненты 
-мерных векторов 
и 
входят в гамильтониан 
одинаковым образом, поэтому ради удобства будем рассматривать векторы 
размерности 
и векторы 
размерности 
причем очевидно, что 
Теорема Арнольда. Пусть гамильтониан 
зависит от параметра 
-периодичен по переменным 
аналитичен в 
-мерной области
и представим в виде
где 
имеет порядок 
а
где 
зависят только от 
а
Пусть, кроме того, в области 
выполняются неравенства
а в области 
Тогда для любого 
существует такое 
что если 
то имеют место утверждения:
1. Область
состоит из двух множеств 
из которых 
инвариантно относительно канонических уравнений с гамильтонианом (10.1.45), а другое, 
мало в смысле меры
2. Множество 
состоит из инвариантных 
-мерных аналитических торов 
, задаваемых параметрическими уравнениями
где 
угловые параметры, 
постоянные, зависящие от номера тора 
.
3. Инвариантные торы Та мало отличаются от торов
Это отличие дается оценками
4. Движение на торе 
условно-периодично с 
-частотами 
:
Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении 
планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот 
играют средние движения планет.
