§ 5.05. Сферические функции
Пусть задано уравнение Лапласа
Определение. Сферическими многочленами 
называются однородные многочлены переменных х, у, z степени 
являющиеся решениями уравнения Лапласа (4.5.51).
Уравнение (4.5.51) имеет 
линейно независимых решения 
. В сферических координатах 
сферические многочлены имеют вид
Определение. Функции 
называются сферическими функциями Лапласа, или сферическими функциями 
порядка.
Функция 
является решением уравнения в частных производных
Сферическая функция 
порядка 
выражается формулой
где 
— постоянные коэффициенты.
Определение. Функции 
называются зональными сферическими функциями, или зональными гармониками. Функции 
называются секториальными сферическими функциями, или секториальными гармониками, а функции
называются тессеральными гармониками. Зональные гармоники обращаются в нуль на множестве параллелей, разделяющих единичную сферу на зоны: секторйальные гармоники обращаются в нуль на множестве меридианов, разделяющих сферу на 
секторов, а тессеральные гармоники равны нулю и на множестве параллелей и на множестве меридианов,
Свойства ортогональности сферических функций на единичной сфере выражаются равенствами
где 
— символ Кронекера [14],
Теорема. Всякая непрерывная и дважды дифференцируемая с непрерывными производными функция 
определенная на единичной сфере, разложима в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям.
Другими словами,
