§ 8.03. Метод Лагранжа определения вековых возмущений в двухпланетной задаче

Введем вместо оскулирующих элементов планет новые элементы:

которые часто называются элементами Лагранжа.

Для этих элементов, используя вековую часть возмущающей функции (4.6.27), выписанную с точностью до вторых степеней можно написать следующую систему дифференциальных уравнений:

где

— коэффициенты Лапласа.

Система (4.8.06) является линейной системой с постоянными коэффициентами, и ее общее решение можно написать в виде [2]

где — корни вековых (характеристических) уравнений

Произвольными постоянными в общем решении (4.8.08) можно считать а остальные величины определяются из соотношений

Из условия следует, что в двухпланетной задаче существует решение, при котором плоскости орбит планет совпадают Заметим, что .

Замечание 1. Изложенный метод решения дифференциальных уравнений для элементов Лагранжа (4.8.06) получил в специальной литературе название «метода Лагранжа вычисления вековых возмущений», хотя, как видно из общего решения (4.8.08), элементы Лагранжа изменяются периодическим образом. Это объясняется тем, что в уравнениях для элементов сохранена лишь вековая часть возмущающей функции с точностью до вторых степеней малых величин.

Замечание 2. Метод Лагранжа допускает простое обобщение на случай -планетной задачи, и изложение этого вопроса можно найти в книге [2]. Можно показать, что для всех планет Солнечной системы, кроме Плутона, все корни Я положительны и различны, а все корни и отрицательны и различны, кроме одного, равного нулю.