§ 2.10. Теоремы Пуанкаре о ранге и классе возмущений
В § 8.01 ч. IV дано определение ранга и класса возмущений. Пуанкаре установил две теоремы о ранге и классе возмущений произвольного порядка в классической теории возмущений. Эти теоремы, по существу, указывают на асимптотический характер рядов теории возмущений не только в первом приближении. Они могут быть с успехом применены для оценки промежутка времени, на котором теория обеспечивает заданную точность при условии, что в рядах сохранено заданное число членов.
Теорема Пуанкаре о ранге [70]. Если невозмущенные средние движения 
в планетном варианте задачи 
тел (задача о движении 
планет) несоизмеримы, то:
1) в разложениях для возмущений канонических элементов Пуанкаре 
любого порядка отсутствуют члены, имеющие отрицательный ранг,
2) ранг каждого смешанного члена больше или равен единице,
3) возмущения 
не содержат членов нулевого ранга.
Здесь 
Относительно канонических элементов Пуанкаре см. ч. IV, § 2.08.
Теорема Пуанкаре о классе. Если невозмущенные средние движения несоизмеримы, то:
1) класс каждого члена в возмущениях любого порядка элемента 
неотрицателен,
2) класс каждого члена в возмущениях любого порядка для элементов 
не меньше 0,5.
Обобщение теоремы Пуанкаре о ранге для переменных, являющихся ограниченными по времени и аналитическими функциями первой системы канонических элементов Пуанкаре, дано в [142].
