§ 2.08. Уравнения Ламберта и Эйлера
В задачах определения и исследования орбит важное значение имеют уравнения Ламберта и Эйлера, связывающие два положения небесного тела на невозмущенной кеплеровской орбите.
Пусть 
гелиоцентрические радиусы-векторы небесного тела в моменты 
соответственно, 
— расстояние между концами векторов 
т. е. хорда, соединяющая два положения небесного тела на орбите в моменты 
Тогда в случае эллиптического движения имеет место соотношение
где 
— постоянная тяготения, 
— большая полуось орбиты, 
— углы, изменяющиеся в пределах от 0° до 180° и определяющиеся однозначно по формулам
Верхний знак минус в правой части (3.2.56) берется, если угол между радиусами-векторами 
меньше 180°, а нижний знак плюс, если этот угол больше 180°.
Соотношение (3.2.56) и называется уравнением Ламберта. Оно остается справедливым также для гиперболического движения, если считать, что 
равно действительной полуоси гиперболической орбиты, а величины 
полагать чисто мнимыми 
Уравнение Ламберта записывается также в ином виде после представления углов 
в виде рядов по степеням величин
Если обозначить
то получим вместо (3.2.56) уравнение
удобное в равной мере для эллиптических 
и для гиперболических 
орбит. В обоих случаях правая часть этого уравнения не содержит мнимых величин.
В пределе при 
мы получим так называемое уравнение Эйлера для параболической орбиты
Если угол между радиусами-векторами 
меньше 180°, так что надо брать в правой части данного уравнения знак минус, и если 
значительно меньше, чем 
то правая часть представляет собой разность двух близких чисел и вычисляется весьма неточно. Тогда используют обычно следующую форму уравнения Эйлера:
(где
или
Уравнение (3.2.30), используемое при определении гелиоцентрических положений в случае параболической орбиты (см. § 2.04), представляет собой некоторый аналог уравнения Эйлера.
