§ 2.08. Уравнения Ламберта и Эйлера

В задачах определения и исследования орбит важное значение имеют уравнения Ламберта и Эйлера, связывающие два положения небесного тела на невозмущенной кеплеровской орбите.

Пусть гелиоцентрические радиусы-векторы небесного тела в моменты соответственно, — расстояние между концами векторов т. е. хорда, соединяющая два положения небесного тела на орбите в моменты Тогда в случае эллиптического движения имеет место соотношение

где — постоянная тяготения, — большая полуось орбиты, — углы, изменяющиеся в пределах от 0° до 180° и определяющиеся однозначно по формулам

Верхний знак минус в правой части (3.2.56) берется, если угол между радиусами-векторами меньше 180°, а нижний знак плюс, если этот угол больше 180°.

Соотношение (3.2.56) и называется уравнением Ламберта. Оно остается справедливым также для гиперболического движения, если считать, что равно действительной полуоси гиперболической орбиты, а величины полагать чисто мнимыми

Уравнение Ламберта записывается также в ином виде после представления углов в виде рядов по степеням величин

Если обозначить

то получим вместо (3.2.56) уравнение

удобное в равной мере для эллиптических и для гиперболических орбит. В обоих случаях правая часть этого уравнения не содержит мнимых величин.

В пределе при мы получим так называемое уравнение Эйлера для параболической орбиты

Если угол между радиусами-векторами меньше 180°, так что надо брать в правой части данного уравнения знак минус, и если значительно меньше, чем то правая часть представляет собой разность двух близких чисел и вычисляется весьма неточно. Тогда используют обычно следующую форму уравнения Эйлера:

(где

или

Уравнение (3.2.30), используемое при определении гелиоцентрических положений в случае параболической орбиты (см. § 2.04), представляет собой некоторый аналог уравнения Эйлера.