§ 3.07. Общая вариационная задача для движения ракеты в однородном поле тяжести

Исследуется движение ракеты при допущениях а), б), г), д) и е) § 3.06. Тогда система уравнений движения ракеты вместе с условием (8.3.17) имеет вид

Формулировка задачи. В классе функций удовлетворяющих уравнениям (8.3.46) и некоторым граничным условиям (число граничных условий не должно превышать 12), найти систему функций, минимизирующую некоторый функционал ).

Заметим, что среди искомых функций определяет программу расхода топлива, а -программу ориентации вектора тяги.

Функция Лагранжа (8.3.19) для данной задачи имеет вид

а соответствующие обобщенные уравнения Эйлера — Лагранжа (8.3.20) принимают форму

Анализ уравнений (8.3.48), выполненный различными авторами [12], [56]-[58], [66], [67], позволяет сделать следующие выводы:

1) дуги экстремалей, проходимые при промежуточной тяге, отсутствуют;

2) угол определяющий направление вектора тяги относительно оси абсцисс, определяется формулой

где — постоянные интегрирования;

3) если функционал не зависит явно от и и то угол постоянен;

4) оптимальная начальная скорость параллельна вектору тяги (если

5) если не зависит от х, то тангенс угла является линейной функцией времени.

Используя функции переключения связанные с множителями Лагранжа формулами

можно показать [12], что экстремаль состоит не более чем из грех участков и разрыв в направлении вектора тяги возможен только при условии .

Задача об оптимальном запуске искусственного спутника, решенная Лоуденом [20], является частным случаем изложенной задачи.