§ 5.03. Полиномы Лежандра. Функции Лежандра
Определение. Полиномами Лежандра называются многочлены 
степени
Весьма распространено следующее представление для полиномов Лежандра (формула Родрига).
Из предыдущей формулы имеем, в частности:
Если 
, то получаем
Кроме того, применяется интегральное представление Лапласа
интегральные представления Мейера
а также
Соотношения ортогональности полиномов Лежандра:
Определение. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
называется дифференциальным уравнением Лежандра. Оно имеет два независимых решения.
Первое решение — функция Лежандра 1-го рода, выражаемая с помощью гипергеометрического ряда
абсолютно сходящегося в круге 
Второе решение — функция Лежандра 2-го рода
Ряд (4.5.40) абсолютно сходится при 
Функции Лежандра удовлетворяют оценкам
Имеют место следующие рекуррентные соотношения:
При 
(где 
— целое неотрицательное число) функция Лежандра 1-го рода обращается в полином Лежандра 
степени (4.5.32).
Полиномы Лежандра можно определить как коэффициенты разложений
Первое разложение сходится при 
второе — при 
Функция 
называется производящей функцией полиномов Лежандра.
