§ 1.02. Лагранжевы решения. Точки либрации

Определение. Равновесным решением некоторого векторного дифференциального уравнения

называется постоянный вектор удовлетворяющий уравнению (5.1.10).

Для того чтобы постоянный вектор у — а был частным решением уравнения (5.1.10), необходимо и достаточно, чтобы он был решением векторного функционального уравнения

для любого . Чаще всего ищут равновесные решения в случае автономных систем дифференциальных уравнений зависит только от искомого вектора Тогда равновесные решения определяются функциональным уравнением

Если применить (5.1.12) к уравнениям (5.1.05), в которых уравнения для координат точки заменены тождествами (5.1.06), то необходимое и достаточное условие существования равновесных решений (или положений равновесия) в задаче трех тел выражается уравнениями

Система (5.1.13) состоит из шести уравнений с семью неизвестными:

Определение. Лагранжевыми частными решениями задачи трех тел называются вещественные решения системы (5.1.13).

Таковыми являются:

а) круговые лагранжевы решения-,

б) коллинеарные лагранжевы решения,

в) гомографические лагранжевы решения.

Решения а) и б) являются частным случаем решений в) и их выделение в отдельные группы объясняется методическими соображениями.

Круговые лагранжевы решения — это такие решения системы (5.1.13), для которых

(а — произвольная постоянная) и среди неизвестных четыре считаются произвольными постоянными. Если, например, считать, что — известные, от личные от нуля числа, то

Точка с массой занимает одно из двух положений на рис. 67. Точки называются треугольными точками либрации.

В системе координат точки образуют неподвижный равносторонний треугольник со стороной а, ориентация которого определяется четырьмя произвольными постоянными. Отсюда следует, что при заданном а имеется четырехпараметрическое семейство круговых лагранжевых решений.

В абсолютной системе координат центр масс треугольника будет двигаться равномерно и прямолинейно, а точки будут равномерно вращаться вокруг с угловой скоростью Таким образом, равновесные решения в системе не будут таковыми в системе

Рис. 67. Треугольные точки либрации.

Рис. 68. Первое взаимное расположение точек

Рис. 69. Второе взаимное расположение точек

Коллинеарные лагранжевы решения определяются из системы (5.1.13), если считать, что а абсциссы точек определяются из системы уравнений

Возможны три расположения точек на прямой:

Решение системы (5.1.16) для случая 1) сводится к решению уравнения

где

Если считать известным, то после решения определяются из равенств

а угловая скорость дается формулой

Рис. 70, Третье взаимнорасположение точек

Существует однопараметрическое семейство частных решений типа 1), так как — произвольный параметр.

Для случая 2) решение системы (5.1.16) сводится к решению алгебраического уравнения

где

Если задано и уравнение (5.1.22) решено, то определяются по формулам

Так как — произвольный параметр, то здесь также имеется однопараметрическое семейство коллинеарных лагранжевых решений.

Наконец, для случая 3) решение системы (5.1.16) сводится к решению уравнения

где

Считая произвольным параметром, все остальные неизвестные находим из соотношений

Здесь также имеется однопараметрическое семейство коллинеарных лагранжевых решений.

Если то положение точки в случае 1) называется точкой либрации положение в случае 2) называется точкой либрации а положение в случае 3) называется точкой либрации

Рис. 71. Коллипеарные и треугольные точки либрации.

Замечание 1. Положение тел неизменно лишь в системе координат . В абсолютной системе (рис. 71) вся система обладает поступательно-вращательным движением, так как центр масс движется прямолинейно и равномерно относительно а прямая вращается с постоянной угловой скоростью в плоскости

Замечание 2. Нас интересуют лишь положительные корни уравнений (5.1.17), (5.1.22), (5.1.27). Согласно теореме Декарта каждое из этих уравнений имеет только один положительный корень.

В книгах [1] — [4] можно найти координаты точек либрации для задачи трех тел: Солнце — большая планета — астероид.

Голографические лагранжевы решения — это частные решения уравнений (5.1.05), удовлетворяющие условиям

где -некоторая функция времени, — начальное значение взаимного расстояния . Очевидно, что круговые лагранжевы решения и коллинеарные лагранжевы решения являются частным случаем томографических решений, получаемых при Доказательство существования томографических коллинеарных и треугольных лагранжевых решений можно найти в книге Г. Н. Дубошина [3]. Полную теорию томографических решений в задаче тел, построенную Пицетти, можно найти в книге А. Уинтнера [8] (см также [9]).

Примечание. Используются и другие обозначения точек либрации.