§ 6.02. Разложение возмущающей функции в задаче о движении двух планет (случай малых эксцентриситетов и взаимного наклона)

Леверье построил разложение возмущающей функции [25] для двухпланетной задачи с точностью до седьмых степеней эксцентриситетов орбит и синуса половины взаимного наклона орбит включительно. Привести полные формулы Леверье здесь не представляется возможным и заинтересованного читателя мы отсылаем к трудам [25]. В 1885 г. Боке [26] получил разложение основной части возмущающей функции с точностью до восьмых степеней малых параметров включительно.

Ниже мы приводим разложение возмущающей функции в двухпланетной задаче с точностью до четвертых степеней малых величин (малыми величинами являются эксцентриситеты орбит планет Для многих задач небесной механики такая точность вполне достаточна. Математические соотношения и пояснения, необходимые при использовании разложения возмущающей функции, можно найти в первом томе трактата Тиссерана [7].

Будем считать, что изучается движение планеты В таком случае она является возмущаемой точкой, а планета является возмущающей точкой. Тогда возмущающей функцией задачи является функция

С вышеуказанной точностью разложение по Леверье имеет следующий вид:

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

где — дополнительная часть возмущающей функции, разложение которой приведено ниже, углы, изображенные на рис. 65, — средние долготы планет Р, и в эпоху:

средние движения планет значения средних аномалий в момент

Разложение (4.6.15) является точным относительно а — отношения больших полуосей орбит возмущаемой и возмущающей точек на что указывает суммирование по индексу от до На практике, в зависимости от заданной точности, ограничиваются той или иной степенью Если необходимо сохранить в разложении (4.6.15) члены до степени включительно относительно то необходимо произвести суммирование по от до Соответственно нужно обрывать разложения для коэффициентов Лапласа и их производных по степеням входящих в коэффициенты следующим образом:

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

причем

где — средние аномалии планет Коэффициенты А и В определяются по формулам

В формулах эксцентриситеты орбит, функции Бесселя.

Чтобы получить разложение с точностью до четвертых степеней малых величин, необходимо, пользуясь разложениями для функций Бесселя (4.5.60) с точностью до вычислить

и подставить их выражения в (4.6.19). Все остальные слагаемые в (4.6.19) должны быть отброшены, так же как должны быть отброшены все слагаемые, порядок которых больше четырех, получаемые в произведениях и т. д.

Чтобы получить разложение дополнительной части возмущающей функции 2 для планеты необходимо в разложении (4.6.19) для заменить все индексы «1» на «2» и, наоборот, «2» на «1».

Замечание. Если необходимо иметь разложение возмущающей функции в других элементах, для соответствующих преобразований следует воспользоваться либо формулами (4.3.17), либо (4.3.21), либо (4.3.23), либо (4.3.25).