§ 3.08. Разложения координат невозмущенного кеплеровского движения в ряды по степеням времени
Рассмотрим частное решение дифференциальных уравнений невозмущенного кеплеровского движения
удовлетворяющего начальным условиям при 
Если исключить случай прямолинейных движений, то на основании теоремы Коши о существовании решений системы дифференциальных уравнений решение уравнений можно представить в виде рядов по степеням 
сходящихся во всяком случае при достаточно малых значениях 
Пусть
тогда 
и 
будут частными решениями уравнений
удовлетворяющими начальным условиям
Подставляя в уравнения (2.3.48) ряды
и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях 
можем последовательно найти коэффициенты 
удовлетворяющие условиям (2.3.49).
В результате будем иметь:
где 
— значение 
при 
и
Полученные разложения сходятся в случае кругового движения при
в случае эллиптического движения для всех 
при
в случае параболического движения для всех 
при
при
— среднее движение, 
— перигелийное расстояние, 
— эксцентриситет, а — действительная полуось гиперболы.
(здесь мы привели минимальные значения радиуса сходимости, которые достигаются при 
где 
— момент прохождения через перицентр).
