§ 3.08. Разложения координат невозмущенного кеплеровского движения в ряды по степеням времени

Рассмотрим частное решение дифференциальных уравнений невозмущенного кеплеровского движения

удовлетворяющего начальным условиям при

Если исключить случай прямолинейных движений, то на основании теоремы Коши о существовании решений системы дифференциальных уравнений решение уравнений можно представить в виде рядов по степеням сходящихся во всяком случае при достаточно малых значениях

Пусть

тогда и будут частными решениями уравнений

удовлетворяющими начальным условиям

Подставляя в уравнения (2.3.48) ряды

и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях можем последовательно найти коэффициенты удовлетворяющие условиям (2.3.49).

В результате будем иметь:

где — значение при и

Полученные разложения сходятся в случае кругового движения при

в случае эллиптического движения для всех при

в случае параболического движения для всех при

и в случае гиперболического движения для всех при

где — среднее движение, — перигелийное расстояние, — эксцентриситет, а — действительная полуось гиперболы.

Следует заметить, что радиус сходимости существенным образом зависит от момента (здесь мы привели минимальные значения радиуса сходимости, которые достигаются при где — момент прохождения через перицентр).