§ 1.02. Задача Лагранжа. Множители Лагранжа. Уравнения Эйлера

В динамике космического полета иногда рассматриваются вариационные задачи, использующие лишь классические уравнения движения, в которых не участвуют управляющие функции. Для решения задач такого рода могут найти применение вариационные задачи Лагранжа, Майера, изопериметрическая задача, задача Больца.

Пусть -мерный вектор удовлетворяет уравнениям связи вида

краевым условиям

Задача Лагранжа. Среди всех кусочно-гладких векторов найти такой который доставляет экстремум функционалу

Необходимое условие существования решения для этой задачи сводится к достаточной гладкости функций

Условия, наложенные на и другие функции, участвующие в формулировках перечисленных задач, приводятся, например, в [45].

Для определения вектора экстремали можно воспользоваться теоремой Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Компоненты вектора доставляющего экстремум функционалу (8.1.12), должны удовлетворять (кроме уравнений связи уравнениям Эйлера:

где функция Лагранжа равна

— множители Лагранжа.

Совместное решение системы уравнений Эйлера и уравнений связи позволяют определить неизвестных Функции необходимо решают вариационную задачу для функционала (8.1.12).