§ 2.09. Характер сходимости рядов классической теории возмущений

Если при интегрировании дифференциальных уравнений для оскулирующих элементов применяется какой-нибудь из классических методов теории возмущений (см. ч. IV), то любой элемент на первом шаге представляется выражением вида

где - невозмущенные средние движения планет (мы рассматриваем планетный вариант задачи трех тел), средние долготы, — постоянные (С для некоторых элементов может равняться нулю, независимо от того, соизмеримы или не соизмеримы зависит от

Если рациональные числа, то существует бесконечное множество значений для которых и члены с такими индексами включены в Делители с другими значениями будут ограничены снизу общей постоянной, поэтому ряд из (10.2.33) будет сходиться для любого если не превышают некоторые положительные пределы.

Если — иррациональные числа, то для любой пары таких чисел наверняка существуют такие целые индексы что а — произвольное положительное число. Это обстоятельство ставит под сомнение сходимость ряда (10.2.33) для любых сколь угодно близких к начальному моменту и для любых сколь угодно малых значений

Рассмотрим ряд

в котором суммирование ведется по удовлетворяющим условию

Очевидно, что ряд (10.2.34) является мажорантным для той части ряда (10.2.33), для которой Лишь только эта часть ряда представляет интерес с точки зрения сходимости.

Пусть ряд сходится при

Теорема Брунса. Значения для которых ряд (10.2.34) сходится, и значения для которых ряд (10.2.34) расходится, образуют всюду плотное множество на вещественной оси

Из теоремы Брунса, однако, не следует, что точки расходимости ряда (10.2.33) также образуют всюду плотное множество, хотя точки сходимости образуют такое множество. Как оказывается, точки расходимости ряда (10.2.34) нарушают лишь равномерную сходимость рядов вида (10.2.33) (член не рассматриваем). Подробности см. в [68], [69].

Рассуждения Брунса относятся к классической теории возмущений первого приближения, когда невозмущенная орбита суть кеплеровский эллипс. В этом случае не зависит от малого параметра (см. § 1.03). При построении высших приближений или при построении решений в окрестности данного периодического решения знаменатели типа будут зависеть от таким образом, что

причем радиус сходимости рядов (10.2.35) для некоторых наборов будет сколь угодно мал.

Отсюда вытекает, что и в целом ряды, представляющие возмущения, будут степенными рядами относительно расходящимися на оси Пуанкаре доказал [2], что такие ряды являются асимптотическими, так как

для любого целого В (10.2.36) через обозначен весь бесконечный формальный ряд по степеням через сумма его первых членов.

Желание многих астрономов построить теории движения небесных тел в «тригонометрической форме», подразумевая под этим представление позиционных переменных (большие полуоси, эксцентриситеты, наклоны и их аналоги) в виде сумм периодических функций времени, а угловых переменных (долготы, аномалии и их аналоги) — в виде сумм линейных функций времени и сумм периодических функций, привело к разработке общего метода построения решений канонических систем с периодическим по угловым переменным и аналитическим по гамильтонианом, названного Пуанкаре «методом Линдштедта» [2]. Начало этого направления было положено Лапласом, а завершенное развитие его мы получили благодаря Пуанкаре.

Сущность этого метода такова. Пусть имеется каноническая система

где

Решение системы (10.2.37) отыскиваем в виде

причем коэффициентам разложений (10.2.39) заранее придаем форму

где — величины, зависящие только от начальных данных, — величины, разлагаемые в ряды по степеням

Ньюкомб, Линдштедт и Пуанкаре детально разработали формальную сторону метода построения решений (10.2.39) как в случае общих канонических систем, так и в случае задачи

трех тел. Кроме того, Пуанкаре [2] исследовал вопросы сходимости рядов (10.2.39) и доказал, что из-за появления «малых знаменателей» вида

— средние движения планет в планетной задаче, целые числа) они, вообще говоря, расходятся.

Но имея асимптотический характер, эти ряды с успехом могут применяться при изучении движений небесных тел на конечных интервалах времени, если их обрывать до появления в ряде первого малого знаменателя.

В заключение отметим, что вопросы сходимости (точнее, расходимости) рядов Линдштедта в ограниченной задаче трех тел изучены исчерпывающим образом Г. А. Мерманом [44].