§ 2.06. Соударения

Пусть в абсолютной прямоугольной системе координат рассматривается задача тел и пусть — некоторая конечная, но нефиксированная точка в Обозначим через расстояние

Определение, -кратным соударением (или столкновением) точек если в конечный момент времени называется явление, описанное условиями

Точка А называется точкой соударения, — момент соударения.

Очевидно, что наименьшее значение равно 2 и мы имеем парное или двойное соударение, наибольшее значение равно

и в таком случае точка соударения А совпадает с центром масс системы

Если — постоянная интеграла энергии), то в задаче двух тел при прямолинейном движении будет бесчисленное множество вещественных моментов соударения, определяемых по формуле

где — большая полуось орбиты, т. е. половина длины прямолинейного отрезка, в который вырождается эллипс при один из моментов соударения.

При существует лишь один вещественный момент соударения, хотя, если рассматривать комплексные значения времени, здесь также будет бесчисленное множество моментов соударения. Расстояние между телами в окрестности момента соударения представляется разложениями

Отсюда следует, что для скорости имеем ряды

Формулы (10.2.21)-(10.2.23) показывают, что для любого

и

Формулы (10.2.21) — (10.2.23) весьма важны, так как и в задаче трех тел в случае двойных соударений имеется та же асимптотика.

Если вместо времени в качестве независимой переменной рассматривать эксцентрическую аномалию, то уравнения движения не будут иметь особенность, т. е. эксцентрическая аномалия играет роль регуляризирующей переменной. Детально эти вопросы изложены в [59], [60].

Исследование кратных соударений в задаче тел чрезвычайно сложно потому, что до настоящего времени не известны необходимые и достаточные условия наличия кратных соударений или их отсутствия.

Необходимое условие -кратного соударения (теорема Вейерштрасса — Слудского — Зундмана) [5], [6], [61]. Необходимым условием -кратного соударения в задаче тел в конечный вещественный момент времени является равенство нулю момента количества движения с системы.

Теорема Зундмана. В заоаче трех тел только в том случае, если движение трех тел происходит в некоторой неизменной плоскости (см. [5]).

Таким образом, для исключения тройного соударения в задаче трех тел следует считать, что Именно в этом предположении, конечно, не исключающем двойных соударений в задаче трех тел, Зундман исследовал характер последних и оценил величины кинематических и динамических параметров системы (прежде всего взаимные расстояния и относительные скорости). Зундманом, в частности, доказаны следующие утверждения.

1) Если то на любом конечном отрезке времени может иметь место только конечное число двойных соударений. Другими словами, последовательность последующих моментов соударения

— некоторый начальный момент) не может сходиться к конечному пределу. Это утверждение справедливо и для моментов соударений, предшествовавших так как уравнения движения задачи трех тел, написанные в неподвижных прямоугольных координатах, инвариантны относительно замены на

2) Если — момент соударения двух тел, то при отрезок, соединяющий эти тела, стремится к определенному предельному положению, а его угловая скорость стремится к нулю (движение — почти прямолинейно, как в задаче двух тел). Более того, расстояние монотонно убывает, а скорость неограниченно возрастает, причем имеет место равенство типа (10 2.25)

Другими словами, для моментов времени, близких к моменту соударения, какова бы ни была далекая масса, решающей является сила притяжения близких тел.

3) Если то для всех два из наибольших взаимных расстояний ограничены снизу одной и той же постоянной, а скорость удаленной массы ограничена сверху. Это утверждение говорит о том, что с возрастанием (или с убыванием) периметр треугольника, образованного телами, не может стремиться к нулю ни монотонным, ни осциллирующим образом.

Эти соображения позволили Зундману преодолеть математические трудности, возникающие из-за возможных двойных соударений в уравнениях движения задачи трех тел. Зундман не нашел необходимые и достаточные условия отсутствия всяких соударений в задаче трех тел, но, изучив характер соударений с помощью метода регуляризации независимой переменной, устранил эти особенности в дифференциальных уравнениях задачи трех тел.