§ 1.03. Периодические решения, полученные методом Пуанкаре

Первые найденные в небесной механике периодические решения — это эллиптическое движение в задаче двух тел (см.

ч. II, § 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, §§ 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. § 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу значительно большую масс планет также отличных от нуля, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, § 2.05).

При планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами вторая задача двух тел с массами Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кинематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины Эти плоские периодические решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений. Пуанкаре показывает, что все множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла язляется частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре.

Периодические решения второго сорта — это периодические решения плоского планетного варианта задачи трех тел,

вырождающиеся при в кеплеровские эллипсы с отличными от нуля эксцентриситетами (почти-эллиптические орбиты). Наконец, периодические решения третьего сорта — это пространственные периодические решения.

Доказательство существования периодических решений второго и третьего сорта в задаче трех тел сведено Пуанкаре [2] к исследованию на экстремум некоторой функции смысл которой следующий: пусть уравнения движения в задаче трех тел записаны в гамильтоновой форме (см. ч. IV, § 1.13) с аналитической по при функцией Гамильтона вида

Удобнее всего в этой задаче пользоваться каноническими элементами Делоне (см. ч. IV, § 4.06). Тогда роль переменных играют переменных играют

Пусть при большие полуоси кеплеровских орбит планет выбраны таким образом, что — средние движения планет кратны Тогда вырожденная задача трех тел (т. е. две задачи двух тел) допускает периодическое решение с периодом по долготе. Действительно, средние долготы планет и № за время Т изменятся ровно на независимо от начальных значений долгот и от начальных значении канонических элементов Делоне (см. ч. IV, § 4.06).

Обозначим теперь через среднее значение по времени функции вычисленное после замены переменных и решениями двух задач двух тел. Другими словами, долготы заменяются линейными функциями

а все остальные переменные — постоянными значениями. Тогда

Для существования периодических решений второго и третьего сорта достаточно [2], чтобы Л в пространстве параметров имела экстремум. Пуанкаре доказывает, что функция всегда имеет экстремумы в пространстве

указанных параметров и, следовательно, всегда существуют в планетной задаче трех тел периодические решения второго и третьего сорта. Пуанкаре доказано также, что множество периодических решений третьего сорта богаче множества периодических решений второго сорта, так как, если положить в классе периодических решений третьего сорта наклон, равным нулю, мы получим все множество периодических решений второго сорта и некоторое подмножество периодических решений, не принадлежащих классу решений второго сорта.

Как и в случае решений первого сорта, периодическими функциями времени являются взаимные расстояния, а не координаты тел. Координаты тел будут периодическими функциями в равномерно вращающейся системе координат, угловая скорость которой относительно неподвижной системы достаточно мала.

-периодические решения системы (10.1.01) Пуанкаре называет решениями второго рода. В «Новых методах» [2] он дает исчерпывающий анализ проблемы существования и конкретного построения периодических решений второго рода.

Для периодических решений первого, второго и третьего сорта, так же как и для периодических решений второго рода, характерным является то, что они при (когда массы двух планет — обращаются в нуль) вырождаются в кеплеровские орбиты (круговые или эллиптические), т. е. в вырожденном случае перигелии и узлы планетных орбит неподвижны. В связи с этим Пуанкаре ставит и решает новую задачу о периодических решениях в проблеме трех тел: им доказано существование таких периодических решений, которые характеризуются существенным (но спонтанным) изменением долгот перигелиев и узлов, обусловленным взаимно близким прохождением планет. Такие периодические решения названы Пуанкаре решениями второго вида.

Методы Пуанкаре получили многочисленные приложения в задаче трех тел. Шварцшильд доказал [12] существование периодических решений в ограниченной круговой задаче трех тел, периоды которых в общем случае несоизмеримы с периодом порождающего решения. Эти периодические решения вырождаются при во вращающиеся эллипсы вокруг центрального тела (периодические решения с вращающейся линией апсид). Следует также сказать о работе Цейпеля [13], содержащей детальное исследование периодических решений третьего сорта, о книге К. Зигеля [6], в которой доказывается существование периодических решений гамильтоновых систем, когда матрица линеаризованной части имеет пару чисто мнимых собственных значений, Г. А. Мермана [14], в которой приведены новые четырехпараметрические множества периодических решений в

ограниченной круговой задаче трех тел и в задаче Хилла, Ю. В. Батракова [15], [16], рассматривающих существование шварцшильдовских периодических решений в пространственных неограниченной и ограниченной задачах трех тел. Аналогичное семейство периодических решений найдено Е. П. Аксеновым [90]. В этой же задаче, исходя из орбит задачи двух неподвижных центров,

В. Г. Демин установил существование периодических орбит, замыкающихся после нескольких оборотов [18]. Семейства периодических решений конечных размеров в окрестности точек либрации найдены Мультоном [17]. А. А. Орловым найдены новые классы периодических решений в ограниченной задаче трех тел [91]. Наконец, имеется статья монографического плана Г. А. Чеботарева [19], содержащая, помимо оригинальных результатов автора, историю вопроса.

Описанные выше результаты относятся к ньютоновской задаче трех материальных точек, а не тел конечных размеров. В связи с запросами астродинамики возникла необходимость построения периодических решений в задачах с гравитационными полями, создаваемыми телами конечных размеров.

В работе [92] Е. П. Аксенов и В. Г. Демин установили существование почти эллиптических периодических относительно «регуляризирующего времени экваториальных орбит в спутниковой задаче, когда центральное тело обладает динамической симметрией и медленным сравнению со средним движением спутника) вращением. Эти решения образуют двухпараметрическое семейство и могут быть названы решениями второго сорта. В. Г. Деминым найден класс почти круговых периодических решений [87] в задаче о движении спутника в гравитационном поле, порожденном притяжением сфероидальной планеты и двух точечных масс, двигающихся по круговым орбитам вокруг планеты на расстояниях, больших чем максимальное планетоцентрическое расстояние спутника. В этой же монографии можно найти семейство периодических движений (относительно «регуляризирующего времени лунного спутника.

Вопрос о существовании периодических решений в спутниковой задаче с критическим наклоном изучен А. А. Орловым [93].