§ 1.03. Типы невозмущенного кеплеровского движения

Из интегралов площадей (2.1.19) и интегралов Лапласа (2.1.22) находим

Уравнение (2.1.25) показывает, что движение тела Р происходит в плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору момента количества движения. Поскольку уравнение (2.1.26) определяет поверхность второго порядка, то траектория тела Р есть кривая второго порядка — коническое сечение.

1. Орбитальные координаты. Возьмем новую систему координат ось которой направлена по вектору Лапласа, ось — по вектору момента количества движения, а ось дополняет систему до правой. Тогда формулы преобразования координат будут иметь вид

в силу чего уравнения (2.1.25) и (2.1.26) преобразуются к виду

Переменные называются орбитальными координатами.

2. Уравнение орбиты в полярных координатах. Пусть

Тогда из (2.1.27) находим

где

Уравнение (2.1.29) есть полярное уравнение конического сечения, фокус которого находится в начале координат (точке ). Величина называется (фокальным) параметром конического сечения, эксцентриситетом, полярный угол — истинной аномалией.

Из уравнения (2.1.29) следует, что минимальное значение радиуса-вектора достигается при соответствующая этому значению точка орбиты называется перицентром. В случае движения тела относительно Солнца перицентр называют перигелием, в случае движения тела относительно Земли — перигеем и т. д. Поскольку эта точка лежит на оси вектор Лапласа направлен в перицентр орбиты. Для ограниченных в пространстве движений при радиус-вектор достигает максимального значения. Соответствующая ему точка орбиты называется апоцентром. В случае движения тела относительно Солнца она называется афелием, а в случае движения тела относительно Земли — апогеем. Прямая, соединяющая апоцентр и перицентр, носит название линии апсид.

3. Классификация орбит в задаче двух тел. Из равенств (2.1.24) и (2.1.30) находим формулу

связывающую постоянные а из интеграла энергии имеем

где — значения радиуса-вектора и скорости в начальный момент времени.

В зависимости от начальных условий или постоянных интегрирования будем иметь следующие типы орбит:

а) эллиптическая орбита

б) круговая орбита

в) параболическая орбита

г) гиперболическая орбита

д) прямолинейная траектория

Условия (2.1.33) — (2.1.37) легко вытекают из формул (2.1.29) - (2.1.32).

Следует заметить, что при движение будет происходить по отрезку прямой, при — вдоль луча и, наконец, при — вдоль всей прямой. Таким образом, если то невозмущенное движение будет происходить в ограниченном пространстве, а если то мы будем иметь неограниченное в пространстве движение.

4. Первая и вторая космические скорости. Наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли (ИСЗ), называется первой космической скоростью. Она равна скорости кругового движения (круговой скорости) на данной высоте, т. е.

где есть произведение постоянной тяготения на массу Земли (массой ИСЗ можно пренебречь), а -геоцентрическое расстояние ИСЗ. На поверхности Земли первая космическая скорость составляет около

Второй космической скоростью называется наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно, начав движение вблизи поверхности Земли, преодолело земное притяжение. Очевидно, она равна скорости параболического движения на данной высоте (параболической скорости)

Эта скорость, так же как и меняется с высотой. Будучи приведенной к поверхности Земли, она составляет около