§ 1.07. Основные формулы сферической тригонометрии
Сферический треугольник — часть поверхности небесной сферы, ограниченная тремя дугами больших кругов (рис. 7).
Рис. 7. Сферический треугольник.
Дуги, образующие сферический треугольник, пересекают друг друга только в его вершинах, и называются сторонами сферического треугольника; они измеряются соответствующими центральными углами. Углы сферического треугольника измеряются двугранными углами, образованными плоскостями соответствующих больших кругов; они равны углам между касательными в вершинах, проведенными к соответствующим сторонам сферического треугольника. Обычноуглы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С.....стороны — строчными буквами 
причем сторона а всегда лежит против угла (вершины) А и т. д.
Сферический треугольник, все стороны которого меньше 180°, называется простым.
Сферический треугольник называется прямоугольным, если один из углов его — прямой, и четвертным (квадрантным), если одна из его сторон заключает 90°.
Назовем полюсом большого круга точку на поверхности сферы, лежащую на угловом расстоянии 90° от любой точки окружности этого большого круга, Тогда сферический треугольник,
ник, образованный полюсами больших кругов, дуги которых ограничивают данный сферический треугольник ABC (при условии расположения полюсов сторон этого треугольника в направлении соответствующих вершин), называется полярным данному.
Рис. 8. Полярной треугольник.
Связь между элементами сферического треугольника ABC и полярного ему 
(рис. 8) дается следующими соотношениями:
Если дано соотношение вида
то для сферического треугольника, полярного данному, имеем
т. е. выполняется соотношение
Такое преобразование называется корреляцией [4].
1. Основные системы соотношений, связывающих различные элементы сферического треугольника. Система I. Соотношения между тремя сторонами и одним углом (теорема косинусов) 
Система II. Соотношения между двумя сторонами и двумя противолежащими углами (теорема синусов):
или
Система III. Соотношения между тремя сторонами b двумя углами (формулы пяти элементов):
Система IV. Соотношения между двумя сторонами и двумя углами:
Корреляция соотношений (1.1.005) дает:
Каждое из соотношений (1.1.010) связывает три угла и одну сторону.
При помощи корреляции соотношений (1.1.008) получаем соотношения между тремя углами и двумя сторонами:
Система V. Соотношения между шестью элементами (формулы Каньоли):
В случае прямоугольного сферического треугольника 
справедливы соотношения (рис. 9):
Формулы (1.1.013) можно получить, воспользовавшись правилом Непера, основанным на пятиугольнике Непера (рис. 10) при указанном порядке обозначения сторон этого пятиугольника.
Рис. 9. Прямоугольный сферический треугольник.
Рис. 10. Первая схема для правила Непера.
Косинус стороны пятиугольника Непера равен:
1) произведению синусов противолежащих сторон;
2) произведению котангенсов прилежащих сторон [4].
2. Квадрантный (четвертной) сферический треугольник. При помощи корреляции формул (1.1.013) получаются формулы для квадрантного сферического треугольника 
Формулы (1.1.014) можно вывести из общих соотношений, полагая в них 
или по правилу Непера (рис. 11).
С четвертным сферическим треугольником ABC можно связать присоединенный сферический треугольник 
(рис. 12), сторона с которого является продолжением стороны с и дополняет ее до 90°. Тогда в сферическом треугольнике 
две
стороны равны по 90°, угол 
. В присоединенном сферическом треугольнике 
поэтому применение к нему формул (1.1.013) дает формулы (1.1.014).
Рис. 11. Вторая схема для правила Непера.
Рис. 12. Чртвертной сферический треугольник и присоединенный сферический треугольник.
Кроме того, имеют место:
а) формулы Борда:
где
Определяя сферический избыток а следующей формулой:
и применяя корреляцию к формулам (1.1.015), находим формулы Борда:
б) формулы Деламбра:
Восемь аналогичных соотношений получаются круговой перестановкой букв 
.
в) Аналогии Непера
Другие восемь аналогий Непера получаются круговой перестановкой букв.
г) Формула Льюийе:
Приведенные формулы позволяют определить любые три элемента сферического треугольника, если известны остальные три.
Основные практические приемы вычисления, а также приближенные формулы в случае малых углов могут быть найдены в руководствах по сферической астрономии [1], [4] — [9].
Значения тригонометрических функций для аргументов — углов, выраженных в различных мерах, берутся из соответствующих таблиц [10] — [20].
Полные сведения о таблицах натуральных значений (и логарифмов) тригонометрических функций и других математических таблицах, которые могут оказаться полезными вычислителю, содержатся в специальных справочных руководствах [21]-[23].
