§ 5.02. Гипергеометрический ряд и гипергеометрическая функция
Введем для целых неотрицательных значений 
обозначение
называемое символом Аппеля, где 
гамма-функция (функция Эйлера), определяемая несобственным интегралом
Так как 
то
Определение. Ряд, определяемый равенством
называется гипергеометрическим рядом. Величины 
называются соответственно 1-м, 2-м, 3-м и 4-м элементами ряда. Гипергеометрический ряд является целым рядом относительно комплексного переменного 
рядом многочленов относительно 
При любых комплексных числах 
(за исключением двух случаев: а) у — нуль или целое отрицательное число; б) у и а или у и 
— нули или целые отрицательные числа) ряд (4.5.26) абсолютно сходится внутри единичного круга 
На границе единичного круга 
ряд (4.5.26) абсолютно сходится, если 
условно сходится (за исключением точки 
если — 
, и расходится, если 
Определение. Многозначная функция комплексного переменного 
обозначаемая 
, являющаяся аналитическим продолжением ряда (4.5.26); называется гипергеометрической функцией [15].
Гипергеометрическая функция 
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
которое называется дифференциальным уравнением Гаусса, или гипергеометрическим уравнением.
Решение гипергеометрического уравнения (4.5.27) голоморфно на всей плоскости 
за исключением, быть может, точек 
которые являются регулярными особыми точками. Если ни одно из чисел 
не является нулем или целым числом, то в окрестности каждой из особых точек существуют два линейно независимых регулярных решения.
Разложения этих решений в окрестности особой точки 
имеют вид
В окрестности особой точки 
решения гипергеометрического уравнения (4.5.27) представляются гипергеометрическими рядами
Согласно сказанному ряды (4.5.28) и (4.5.29) абсолютно Сходятся внутри кругов 
соответственно.
В окрестности особой точки 
имеем следующие два регулярных решения:
абсолютно сходящиеся при 
Все известные 24 решения гипергеометрического уравнения (таблица Куммера) можно найти в книге [15].
Приведем выражения некоторых элементарных функций через гипергеометрический ряд [17]:
В небесной механике и астродинамике чаще всего встречается гипергеометрический ряд с вещественным аргументом, который в дальнейшем будем обозначать буквой х.
