§ 2.03. Численное интегрирование функции по таблице ее значений с постоянным шагом

Формулы для вычисления определенного интеграла

с помощью таблицы значений подынтегральной функции называются квадратурными формулами. Наиболее простые из них получаются, если имеется таблица значений в равноотстоящих узлах. Это — формулы Ньютона — Котеса, выводимые путем замены функции ее интерполяционным полиномом Лагранжа и последующего буквенного интегрирования.

1. Обозначим

Общий вид формул Ньютона — Котеса следующий:

где и числа не зависящие от и функции называются числами Котеса. Формула (7.2.23) при фиксированном точная, т. е. знак заменяется на если -полином степени или ниже при нечетном и степени или ниже при четном.

При совпадает с формулой трапеций

при с формулой Симпсона

При имеем

и при

Теоретические оценки остаточных членов этих формул, т. е. разностей между точным значением I и правой частью (7.2.23) при указанных следующие:

где — верхняя граница абсолютной величины производной

Формулы Ньютона — Котеса при менее выгодны с точки зрения величины оценки их остаточных членов. При больших эти формулы неудобны из-за того, что коэффициенты велики и имеют чередующиеся знаки.

2. Широко применяются обобщенные формулы трапеций и Симпсона, получающиеся, если интервал разбить на частей равноотстоящими узлами с шагом каждому малому интервалу применить формулу (7.2.24) или к каждой паре интервалов (тогда четное) применить формулу Симпсона (7.2.25). Тогда

или

Оценки остаточных членов этих формул

соответственно.