Часть X. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА

Глава 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ. ФИНАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

В этой главе приведены три фундаментальных метода качественного анализа: метод малого параметра А. Пуанкаре, метод А. М. Ляпунова и метод исследования гамильтоновых систем

А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Эти способы позволяют устанавливать существование периодических и условно-периодических решений в задачах небесной механики. Кроме того, изложены результаты об исследовании финальных движений в задаче трех тел и проблемы захвата.

§ 1.01. Метод малого параметра Пуанкаре

Пусть имеется векторное дифференциальное уравнение

где — -мерный вектор фазовых координат, - -мерная аналитическая вектор-функция и периодическая по с периодом — скалярный аргумент, скалярный параметр. Кроме (10.1.01) рассмотрим векторное уравнение

называемое порождающим, или упрощенным, для уравнения (10.1.01).

Пусть векторному уравнению (10.1.02) удовлетворяет периодическая вектор-функция

с периодом Т:

Решение (10.1.03) также называется порождающим

Сущность метода Пуанкаре состоит в определении необходимых и достаточных условий существования Г-периодического решения уравнения (10.1.01), близкого к решению в том смысле, что оно при обращается в

Пусть искомое решение представляется векторным равенством

где -мерный вектор характеризует разность начальных условий для решения и порождающего решения т. е.

Заметим, что периодического решения удовлетворяющего начальному условию не существует, так как это противоречит теореме Коши существования и единственности решения [1], если вектор X удовлетворяет условиям этой теоремы.

Необходимым и достаточным условием существования Г-пе-риодического решения является выполнение векторного равенства

Условие (10.1.07) представляет собой векторное уравнение с не известным -мерным вектором поэтому вопрос о существовании Г-периодического решения равносилен вопросу о разрешимости функционального уравнения (10.1.07) относительно

Введем обозначения

где символом обозначен якобиан порядка.

Тогда имеет место

Теорема Пуанкаре. Если то по крайней мере при достаточно малых уравнение (10.1.01) имеет единственное Т-периодическое решение, аналитическое относительно и обращающееся в порождающее решение при

Если доказано существование периодического решения, то целесообразно находить его либо в виде

где компоненты вектора получаются в виде рядов

в результате решения уравнения (10.1.07), либо сразу в виде

где суть Г-периодические функции

Вектор-функция определяется из неоднородного векторного уравнения

где является Г-периодической матрицей, а — известная Г-периодическая вектор-функция. Более подробно эти вопросы изложены в [2] — [6].

Если то вопрос о существовании периодических решений уравнения (10.1.01) и их числе становится чрезвычайно сложным, так как в этом случае не имеет места теорема о неявных функциях, на основе которой разрешается функциональное уравнение (10.1.07). Некоторые из этих особых случаев рассмотрены Пуанкаре [2] и изложены И. Г. Малкиным [3], [4], Г. Н. Дубошиным [5] и К. Зигелем [6].

Метод Пуанкаре позволяет искать и -периоднческие решения системы (10.1.01), где — некоторое целое положительное число. Для существования таких решений необходимо и достаточно выполнение условия