§ 2.04. Случаи интегрируемости уравнения Гамильтона — Якоби методом разделения переменных

Теорема Гамильтона — Якоби (см. ч. IV, § 1.20) устанавливает эквивалентность проблемы интегрируемости канонической системы (4.1.52) и уравнения Гамильтона — Якоби (4.1.67) или (4.1.68). Это обусловило интенсивные исследования по проблеме отыскания полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, прежде всего методом разделения переменных [104].

Изложим кратко историю вопроса.

В 1843 г. Якоби [105] нашел методом разделения переменных полный интеграл уравнения вида

Р. Лиувилль [106], [107] показал, что интегрируемо более общее, чем (10.2.09), уравнение Гамильтона — Якоби, а именно:

В 1880 г. Г. Морера [108] нашел методом разделения переменных все случаи интегрируемости уравнения

В 1891, 1893 гг. П. Штеккель [109] исследовал проблему интегрируемости уравнения

Доказано, что если уравнение (10.2.12) допускает разделение переменных, то необходимо существует система функций и система функций обладающих тем свойством, что коэффициенты и силовая функция представляются соотношениями

Эти условия являются и достаточными [110].

После работы Штеккеля осталось найти случаи интегрируемости уравнения Гамнльтона — Якоби, содержащего, помимо квадратов импульсов, также произведения импульсов с различными индексами, импульсами в первой степени и явно время в характеристической функции, т. е. представляло интерес уравнение Гамильтона — Якоби вида

Очевидно, что возможность интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби целиком определяется аналитической структурой коэффициентов и силовой функции Это побудило Т. Леви-Чивита [111] вывести необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (10.2.13), чтобы оно было интегрируемым методом разделения переменных. Для случая трех степеней свободы (например, для пространственной ограниченной задачи трех тел) эти условия выписаны и исследованы Ф. Даль-Аква [112]. В 1911 г. П. Бургатти [113] выписал функциональные зависимости импульсов от координат, приводящие к интегрированию уравнения Гамильтона — Якоби. Н. Д. Моисеев [114] и В. Г. Демин [87] указали на два обобщения уравнений Лиувилля и Штеккеля, также интегрируемые методом разделения переменных.

Вопросы интегрируемости уравнений в частных производных первого порядка исследовал В. Г. Имшенецкий [121], идеи которого были использованы М. С. Яров-Яровым [122] для интегрирования неавтономного уравнения Гамильтона — Якоби.