§ 1.04. Периодические решения, полученные методом Ляпунова
Метод Ляпунова, изложенный в § 1.02, получил завершенное применение в исследованиях Г. Н. Дубошина [20], [21] и А. И. Рыбакова [22]-[25] по построению аналитических теорий движения спутников в спутниковых системах, и, в частности, в системе Сатурна.
Рассматривалась механическая модель, состоящая из центрального тела — однородного эллипсоида вращения (Сатурн), однородного плоского кругового кольца (кольцо Сатурна), восьми однородных, одномерных, круговых колец (заменяющих спутники) и материальной точки — Солнца, двигающейся, согласно законам Кеплера, по эллипсу, фокус которого совпадает с центром Сатурна.
Полная силовая функция 
задачи о движении спутника является суммой одиннадцати силовых функций и может быть представлена, как показал Г. Н. Дубошин [20], в виде
Функция 
зависит только от двух цилиндрических координат 
(не зависит от долготы), причем является четной функцией относительно 
Функция 
представляет остальную часть функции 
Поскольку силовые функции колец и эллипсоида вращения не зависят от долготы I, отсюда следует, что
где 
— силовая функция, обусловленная притяжением Солнца.
Модельная задача с силовой функцией V имеет [20] плоские и пространственные периодические решения вида (10.1.17) — (10.1.20), для нахождения которых используется теорема Ляпунова о голоморфном интеграле. Полная задача может иметь периодические решения только в том случае, если период обращения Сатурна вокруг Солнца и период периодического решения модельной задачи для спутника, зависящего от постоянной с, соизмеримы.
Для построения этих периодических решений целесообразно применять метод Пуанкаре. В общем случае полная задача не имеет периодические решения, близкие к «ляпуновским» периодическим решениям.
Конкретные вычисления для системы Сатурна, выполненные А. И. Рыбаковым [22]-[25], дали удовлетворительное согласие с многочисленными наблюдениями спутников Сатурна, проведенными Германом и Георгом Струве [94], [95] на протяжении почти полстолетия с 1880 по 1928 г.
Некоторые семейства периодических решений в окрестности точек либрации изучены Ю. А. Рябовым [26].
