§ 10.04. Основные этапы построения теории Хилла—Брауна движения Луны

1. Основные результаты и применяемая методика изложены подробно в Исходными являются уравнения движения Луны в прямоугольной вращающейся системе координат:

где

возмущающая функция равна

Функция определяется согласно (4.10.04). При этом

— расстояние от центра масс С до Солнца и а — угол между направлениями из С на Солнце и Луну.

Координаты Луны х, у, z отнесены к системе с началом О в центре Земли, вращающейся с угловой скоростью вокруг оси причем плоскость совпадает с плоскостью эклиптики, ось направлена к северному полюсу эклиптики, ось параллельна направлению из С на среднее положение Солнца. Координаты Солнца отнесены к системе с началом в центре масс С и осями, параллельными осям системы

Вместо времени в качестве аргумента используется переменная I, связанная с формулой

где — начальный момент, — среднее движение Луны по своей орбите относительно Земли. Между и оскулирующей большой полуосью а орбиты Луны имеет место соотношение

где

Если выделить в главную часть

то уравнения (4.9.21) примут вид

где

Далее вводятся комплексные переменные

Уравнения относительно имеют вид

где и D — оператор:

Именно решение этих уравнений непосредственно и строится в теории Хилла — Брауна.

2. При построении решения уравнений движения используется упрощенное выражение для возмущающей функции й,

получающееся, если в (4.10.10) заменить на и все множители, зависящие от при на единицу. Выделяемая из этого выражения для главная часть остается такой же, как (4.10.23), т. е.

Эта функция получается из (4.10.26), если пренебречь эксцентриситетом орбиты Солнца и членами порядка и выше. Тогда (4.10.26) переписывается в виде

где причем

Разложение возмущающей функции в уравнениях (4.10.25), используемое Брауном, имеет вид

где

I — средняя аномалия Солнца, являются комплексно сопряженными с Поправки, вводимые Брауном в полученные формулы для решения основной проблемы и обусловленные использованием упрощенного выражения (4.10.26) для возмущающей функции, такие же, как и в теории Делоне (см. § 10.03).

3. Метод решения уравнений (4.10.25) заключается в том, что сначала строится промежуточная орбита, соответствующая периодическому решению этих уравнений при Переменные для этой орбиты представляются в виде тригонометрических рядов в комплексной форме с аргументом коэффициенты которых в свою очередь представляют ряды по степеням параметра

Методом последовательных приближений ищется далее общее решение уравнений (4.10.25) в виде совокупности членов различного порядка относительно некоторых параметров

и эксцентриситета геоцентрической орбиты Солнца. Параметры , а играют роль постоянных интегрирования, значения которых близки к постоянным теории Делоне соответственно. Для параметра фиксируется численное значение, соответствующее значениям средних движений определенных по многолетним наблюдениям. Члены любого порядка в выражениях для переменных представляются в виде кратных тригонометрических полиномов в конечной форме по аргументам Делоне .

Осуществляется переход от координат к сферическим координатам и находятся тригонометрические ряды для долготы V, широты и горизонтального параллакса Луны

Определяются численные значения постоянных интегрирования путем сопоставления полученных аналитических формул для с данными многолетних наблюдений Луны.

Выписываются окончательные таблицы численных значений коэффициентов тригонометрических полиномов для и выражения для основных аргументов, что дает решение основной проблемы. Коэффициенты в полиномах для V и выписываются с точностью до и для — с точностью до

Находятся прямые и косвенные возмущения от планет, а также от формы Земли, Луны. Эти возмущения выражаются с помощью малых вековых и периодических членов, которые следует добавить к выражениям для полученным при решении основной проблемы и к основным аргументам .

Для облегчения вычислений эфемериды Луны Браун составил специальные таблицы (опубликованные в 1919 г.). С 1952 г. координаты Луны вычисляются с помощью ЭВМ по тригонометрическим рядам Брауна для этих величин. Кроме того, в настоящее время в теорию Брауна внесены некоторые уточнения (см. [49], [50]).