§ 3.11. Краевая задача для квазилинейной системы с линейными краевыми условиями

Пусть дана система вида

где — малый параметр,

и даны краевые условия вида (7.3.32)

где векторы или равны нулю или малы по норме. Для построения решения такой краевой задачи можно применить метод последовательных приближений.

Первое приближение удовлетворяет системе уравнений

и тем же краевым условиям (7.3.47).

Имеем, таким образом, линейную краевую задачу. Находим в виде

где - частное решение системы (7.3.48) при начальном векторе определяемом из соотношения (алгебраических уравнений)

(при этом возможен случай матрица решений однородной системы

причем матрица начальных условий определяется из соотношения

Предполагается, что . Тогда

Если считать для простоты, что имеют порядок параметра то

Второе приближение удовлетворяет системе уравнений

и тем же краевым условиям (7.3.47). Опять имеем линейную краевую задачу, причем система (7.3.54) отличается от системы (7.3.48) для первого приближения только лишь неоднородной частью.

Ищем в том же виде (7.3.49)

где - частное решение системы (7.3.54) при тех же начальных условиях, при каких мы находили — та же матрица, что и в (7.3.49). Вектор определяем по формуле

При

Построение дальнейших приближений выполняется аналогичным образом. Их сходимость гарантируется, во всяком случае, при достаточно малых

При непосредственных вычислениях численные значения а также компонент векторов a и b краевых условий фиксируются. Выписанные выше оценки для дают представление о порядке этих величин, если считать, что имеют один и тот же порядок.

Замечание. Если систему уравнений для последовательных приближений выбрать в следующем виде (вместо (7.3.48) и

то порядок малости по составит не Тогда мы получим при малых последовательность обладающую квадратичной сходимостью, характерной для методов типа Ньютона.