§ 2.08. Сходимость рядов Хилла в основной проблеме теории движения Луны

В гл. 3 ч. V и в гл. 10 ч. IV приведены уравнения Хилла, определяющие промежуточную орбиту Луны. Для теории Луны Хилл рассматривал уравнения [см. (5.3.18)]

в которых

где — массы Земли и Луны, — средние сидерические движения Луны и Солнца. Хилл показал (см. ч. IV, гл. 10), что уравнения (10.2.28) имеют периодическое решение

где коэффициенты разлагаются в ряды по степеням малого параметра

А. М. Ляпунов показал [64], что уравнения (10.2.28) имеют периодические решения вида

где — тригонометрические полиномы относительно и — целое число). Ряды Ляпунова (10.2.32) представляют собой «перестроенные» ряды Хилла (10.2.31).

В работе [64] Ляпунов не только построил формальные ряды (10.2.32), но и доказал их сходимость: им доказано, что ряды (10.2.32) абсолютно и равномерно сходятся для всякого значения при Для теории движения Луны поэтому ряды Хилла применимы в этой задаче.

Другое доказательство сходимости рядов Хилла дал А. Уинтнер [60]. Г. А. Мерман [65], М. С. Петровская [66] и Рябов [67] занимались расширением области сходимости рядов Хилла. Последнему принадлежит наиболее общий результат