§ 3.10. Задача о максимизации полной энергии космического аппарата

Формулировка задачи. Требуется найти такой маневр, чтобы полная энергия ракеты была максимальной в некоторый (свободный для выбора) момент времени

Задача решается при следующих предположениях:

а) внешнее силовое поле консервативно;

б) начальная точка траектории начальная скорость и начальная масса ракеты заданы:

в) масса ракеты (без топлива) известна;

г) конечная точка траектории и конечная скорость заранее не известны;

д) секундный расход топлива ограничен.

Полная энергия ракеты Н равна

( - потенциальная энергия ракеты), поэтому сформулированная задача является вариационной задачей о нахождении минимума функционала

где

Эта задача относится к разряду задач Майера (см. § 1.07), поэтому для нахождения оптимального решения (шестимерного вектора с компонентами оптимального управления (пятимерного вектора с компонентами множителей Лагранжа необходимо совместно решить уравнения движения ракеты (8.3.13) (система шестого порядка), характеристические уравнения (8.3.20) (семь дифференциальных уравнений и пять алгебраических уравнений), уравнение (8.3.14), равенства (8.3.15) и (8.3.17).

Совместная система 21 уравнения (8.3.13) - (8.3.15), (8.3.17) и (8.3.20) состоит из четырнадцати дифференциальных уравнений и семи алгебраических уравнений, поэтому для определения оптимального решения и оптимального управления необходимо иметь четырнадцать краевых условий. Восемь из них даны в формулировке задачи:

Остальные шесть краевых условий определяются равенствами (8.1.31) и имеют вид

Условия (8.3.58) эквивалентны [20] условиям

т. е. в конечной точке траектории базис-вектор совпадает с конечной скоростью, а производная базис-вектора равна ускорению, обусловленному внешним полем.

Подробный анализ уравнений (8.3.13) - (8.3.17), (8.3.20) с краевыми условиями (8.3.57) и (8.3.58) проведен Лоуденом в работах [20], [61]. Здесь же рассмотрена задача без предположения д).