Часть VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ
Глава 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Включение этого раздела в настоящее издание обусловлено тем, что в последние годы динамика космического полета получила бурное развитие и значительно возросло количество исследователей, интересующихся и активно работающих в этой области современной небесной механики.
При решении оптимальных и краевых задач динамики космического полета используются методы (классические и современные) вариационного исчисления и математической теории оптимальных процессов. Математические методы, применяемые в динамике космического полета, можно условно объединить в следующие группы.
а) Методы классического вариационного исчисления, связанные с решением основных вариационных задач (изопериме-трическая задача, задачи Лагранжа, Майера и Больца), которые формулируются без привлечения функций управления. К этой группе методов можно отнести и теорию экстремумов функций и функционалов Лагранжа. В последние годы появились достаточно эффективные численные методы проверки необходимых и достаточных условий теории максимумов и минимумов, когда количество независимых переменных велико. Особый интерес представляют те методы, которые позволяют решать экстремальные задачи в классе разрывных или не всюду дифференцируемых функций.
Основные понятия и определения теории экстремумов и вариационного исчисления читатель может найти в многочисленных учебных пособиях (Г. М. Фихтенгольц [1], И. М. Гельфанд и С. В. Фомин [2], Л. Э. Эльсгольц [3] и др.). Кроме того, можно рекомендовать работы Блисса [4] — [7], Чикала [8], Хэнкока [9]. Хорнера [10], Миеле [11] и др. Достаточно полный обзор перечисленных выше работ содержится в переведенном на русский
язык сборнике статей [12], вышедшем под редакцией Лейтмана. На работы, включенные в сборник [12], мы неоднократно будем ссылаться. Следует указать и на книгу Мнеле [13], также переведенную на русский язык.
б) Методы классического вариационного исчисления, видоизмененные и приспособленные для решения традиционных задач (изопериметрической задачи, задач Лагранжа, Майера, Больца), сформулированных с учетом функций управления. Среди многих работ, рассматривающих оптимальные траектории космического полета с этой точки зрения, следует прежде всего указать на исследования Лоудена [14] — [20], основанные на решении задачи Майера в современной постановке (в настоящем справочнике она названа «третьей формулировкой задачи Майера-»). Существенные результаты в этом направлении получены В. Ф. Кротовым [21] — [23], В. А. Троицким [24] — [26], Д. Е. Охоцимским и Т. М. Энеевым [27], Лейтманом [28] — [30]. Наконец, в сборнике [12] можно найти изложение различных аспектов этого направления вариационного исчисления и многочисленные литературные ссылки (особенно главы II—V, XI).
в) Метод скорейшего спуска (или метод градиентов), который с полным правом можно было бы отнести к группе а), так как он появился еще во времена Коши. Однако большие вычислительные возможности, появившиеся в связи с современной вычислительной техникой, делают метод скорейшего спуска весьма эффективным при решении оптимальных задач динамики космического полета и по этой причине мы выделили его отдельно. Эффективность метода градиентов при нахождении относительных экстремумов функций многих переменных была показана, в частности, Кюрри [31], Розеном [32], Топкинсом [33], а его эффективность в исследовании оптимальных траекторий была установлена Штейном [34], Келли [35], Брайсоном и др. [36]. Достаточно подробное изложение метода градиентов применительно к оптимальным задачам динамики космического полета, сопровождаемое весьма полным указателем литературы, дано в сборнике [12] (гл. VI).
г) Принцип максимума Л. С. Понтрягина — один из основных методов математической теории оптимальных процессов. Изложение этого принципа содержится в монографиях [37], [38] Он особенно удобен при решении вариационных задач со связями, содержащими ограничения на функции управления. Основные математические проблемы обоснования принципа максимума были решены его создателями (академиком Л. С. Понтрягиным и его учениками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко). Некоторые математические аспекты принципа были изучены Л. И. Розоноэром [39]. Вопросы применимости принципа максимума для исследования оптимальных
движений в динамике космического полета рассматривались Лейтманом [28], [30], [40], В. К. Исаевым [41], [42] и др.
д) Принцип оптимальности Беллмана (или метод динамического программирования) также является одним из основных методов математической теории оптимальных процессов. Основы этого метода изложены его создателем в книгах [43], [44] и в многочисленных научных статьях. Практическое применение метода динамического программирования в динамике космического полета связано с использованием ЭВМ с большой емкостью оперативной памяти. Известно [12], что задача о минимизации интегрального функционала, зависящего от двумерного вектора управления, требует машинной оперативной памяти в 40 000 ячеек. Для решения вариационных задач большей размерности требуются еще более мощные вычислительные машины.
Описание принципа максимума и метода динамического программирования с точки зрения приложений в механике космического полета можно найти в сборнике [12].
