§ 2.12. Поиск решений уравнения Гамильтона — Якоби на ЭВМ. Приложение к ограниченной задаче трех тел
Рассмотрим уравнение Гамильтона — Якоби для задачи с двумя степенями свободы вида
Оно может быть приведено к виду
где
С помощью обозначений
уравнение (10.2.44) приводится к системе
Пусть функции Тк имеют априори заданную аналитическую структуру
с неизвестными параметрами 
Чтобы проверить гипотезу о существовании аналитической структуры для 7 вида (10.2.48), нами предложен метод [117], который сводится к решению методом Рунге — Кутта [119] системы обыкновенных дифференциальных уравнений (а не уравнений в частных производных) и к применению теоремы Гамильтона — Якоби (см. ч. IV, § 1.20). Как и в § 2.11, эффективность метода зависит от возможностей математического обеспечения ЭВМ.
В частности, было доказано, что частные производные 
входящие в уравнение Гамильтона — Якоби для плоской ограниченной круговой задачи трех тел (5.2.56), не могут иметь следующие аналитические структуры:
а) в виде квадратных радикалов от полиномов относительно 
и четвертой степени;
б) в виде сумм полиномов относительно 
и второй степени и квадратных радикалов от таких же полиномов четвертой степени;
в) в виде сумм полиномов второй степени и квадратных радикалов от отношений полиномов шестой и четвертой степени [120].
Замечание. Методы поиска решений в буквенном виде на ЭВМ являются, строго говоря, не обоснованными, так как они сопровождаются многими ошибками. Они лишь служат средством прогноза в аналитических теориях. Однако они особенно эффективны, если уравнения имеют известные первые интегралы, используемые для контроля вычислений. Именно так обстоит дело в ограниченной круговой задаче трех тел, где имеется интеграл Якоби.
