§ 3.09. Общая постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Случай линейной краевой задачи

В предыдущих параграфах рассматривались методы нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, т. е. решений задачи Коши. В настоящее время в астродинамике часто встречаются задачи другого типа, а именно, краевые задачи (о ряде таких задач сказано в ч. VIII).

Пусть дана система уравнений общего вида

заданы точки и некоторые соотношения

Задача о нахождении решения системы (7.3.27), удовлетворяющего соотношениям (7.3.28), называется многоточечной краевой задачей общего вида. Соотношения (7.3.28) называются краевыми условиями. Если (в краевые условия входят значения искомых функций в двух точках), то краевая задача называется двухточечной.

Вопрос о существовании решения общей краевой задачи весьма сложный и исследован далеко не полностью. Эта задача может а) не иметь решений, б) иметь единственное решение,

в) иметь конечное число решений, г) иметь бесконечное множество решений. Более простой и лучше исследованной является двухточечная линейная краевая задача, когда система исходных уравнений

и краевые двухточечные условия при

являются линейными. В (7.3.29) функции непрерывны на отрезке постоянные числа.

Краевая задача при всех называется однородной и при неоднородной.

Условия существования решения. Пусть фундаментальная система решений уравнений (7.3.29) при всех Рассматривается матрица из элементов

1) Неоднородная краевая задача имеет единственное решение тогда и только тогда, когда Однородная краевая задача имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда

Важен вопрос о так называемой обусловленности краевой задачи. Краевая задача называется хорошо обусловленной, если малые изменения коэффициентов и правых частей исходных дифференциальных уравнений, а также краевых условий приводят к столь же малым по порядку величины изменениям решения. В противном случае краевую задачу называют плохо обусловленной.

Методы решения и анализа краевых задач в настоящее время интенсивно развиваются и приобретают все более и более важное место в теории дифференциальных уравнений. Мы ограничимся изложением некоторых методов решения краевых задач отдельного типа, не останавливаясь на их анализе. Более подробно можно прочитать о краевых задачах в [3], [9], [20].