§ 3.13. Устойчивость других решений задачи трех тел
Пуанкаре в «Новых методах» [2] доказал, что решения плоской ограниченной круговой задачи трех тел, устойчивые в смысле Хилла (см. § 3.03), будут устойчивыми по Пуассону и, следовательно, обладают свойством возвращаемости в любую сколь угодно малую окрестность начальной точки.
Устойчивость по Пуассону свойственна и для других законов тяготения [2], отличных от ньютоновского, если рассматривается плоская ограниченная задача и существует интеграл энергии. В неограниченной задаче трех тел свойство траекторий быть устойчивым по Пуассону в общем не сохраняется.
Н. Д. Моисеевым построены [28], [29] области сплошной устойчивости и неустойчивости в плоской ограниченной круговой задаче трех тел с помощью критерия Уиттекера.
Существенные результаты по устойчивости решений гамильтоновых систем, к которым относится и ограниченная круговая задача трех тел (плоская и пространственная), принадлежат
B. Г. Демину [87]. Им доказано, что в случае спутниковых орбит или в случае орбит, охватывающих обе притягивающие массы, гамильтоновы уравнения ограниченной задачи трех тел, путем замены переменных, можно привести к «невырожденному улучаю» (хотя первоначальная задача является вырожденной) и
к ним, следовательно, применима теорема Арнольда об устойчивости в эллиптическом случае (см. § 3.11). Таким образом, В. Г. Деминым доказано, что периодические и условно-периодические решения ограниченной круговой задачи трех тел спутникового типа или охватывающие обе притягивающие массы орбитально устойчивы (устойчивы относительно всех кеплеровских элементов, кроме средней аномалии).
