§ 6.06. Полуаналитический метод Брауэра — Клеменса разложения возмущающей функции

Существуют различные способы разложения возмущающей функции, основанные на сочетании аналитических и численных методов. Здесь мы излагаем метод Брауэра — Клеменса [2]. Имеем

где — взаимное расстояние между планетами — большая полуось орбиты планеты поэтому

планету называют внешней),

Здесь — эксцентрические аномалии планет — эксцентриситеты их орбит.

Вспомогательные величины определяются из равенств (см. рис. 65)

Формулы дают возможность вычислить величину (4 6.30) для любого момента времени по следующей схеме: если заданы элементы орбит планет то по формулам (4.6.05) вычисляем Для заданного момента времени решаем уравнения Кеплера

и находим эксцентрические аномалии Далее, используя равенства (4.6.34), вычисляем Имея эти величины, определяем сначала а далее после чего из

(4.6.31) определяем Окончательно равенство (4.6.30) дает

Однако для определения величины целесообразнее применять метод Брауэра — Клеменса [2], который заключается в следующем.

Рассмотрим случай внешней планеты Разделим отрезок на равных частей и для каждого из частных значений средней аномалии решаем соответствующее уравнение Кеплера, в результате чего находим значений эксцентрической аномалии Далее по схеме, описанной выше, находим Для каждой пары значений и разлагаем в ряд Фурье по кратным выражение Для вычисления коэффициентов Фурье используем метод гармонического анализа.

Первая квадратная скобка в соотношении (4.6.30), разлагается в ряд Фурье по кратным аргумента при помощи коэффициентов Лапласа. Далее в этот ряд подставляется значений величины в результате чего получается рядов, которые должны быть преобразованы в рядов Фурье по кратным эксцентрической аномалии

Перемножая значений величины соответственно на рядов Фурье для и на рядов Фурье для получим рядов для Имея тригонометрических рядов по для мы можем с помощью гармонического анализа представить в виде двойного ряда Фурье по кратным эксцентрической аномалии внутренней планеты и средней аномалии внешней планеты Коэффициенты этого ряда находятся методами гармонического анализа и вычисляются на основании ранее полученных коэффициентов.

Используя разложения для эллиптического движения и функции Бесселя (см. ч. II, § 3.01), можно представить выражение в виде двойного ряда Фурье по кратным средних аномалий