§ 3.03. Метод Коуэлла

Пусть известны значения и составлена таблица разностей (табл. 84).

Таблица 84

При нахождении по методу Коуэлла применяется, как в методе Адамса, разложение решения в ряд Тейлора в окрестности точки но выражения для производных функции в точке составляются на основании интерполяционной формулы Стирлинга. Это приводит к следующим выражениям:

где — центральные разности первого и третьего порядков соответственно, равные

Эти разности, а также разности неизвестны (их нельзя вычислить с помощью лишь значений Поэтому вычисление по формуле (7.3.12) проводится с помощью экстраполяции разностей четвертого порядка и последовательных приближений.

Пусть Тогда в первом приближении полагают, что четвертые разности также равны . С этими значениями четвертых разностей вычисляют (в первом приближении) разности отмеченные в табл. 84 скобками, а затем

С этим значением вычисляют и уточняют разности (в табл. 84 они подчеркнуты). Имея уточненное значение и полагая вычисляем разность а затем во втором приближении и т. д. После аналогичных дальнейших вычислений приходится обычно опять уточнять поскольку уточняются разности и др.

Формула (7.3.12) метода Коуэлла выгодно отличается от формулы метода Адамса тем, что коэффициенты при разностях убывают гораздо быстрее. Поэтому, несмотря на большую громоздкость вычислений, этот метод часто оказывается более удобным, чем метод Адамса. Вычисления для систем уравнений производятся по аналогичным формулам и таблицам разностей, выписываемым параллельно для правых частей каждого уравнения.