§ 3.10. Теоремы об устойчивости планетных орбит

Дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов, положенные в основу теории вековых возмущений Лагранжа (см. ч. IV, § 8.03), которые получаются из общих уравнений для оскулирующих элементов в результате замены возмущающей функции ее вековой частью (см. ч. IV, § 6.04) с точностью до величин второго порядка малости (относительно эксцентриситетов и наклонов), имеют первые интегралы

Здесь рассматривается планетный вариант задачи тел планета и центральное тело), — масса и среднее движение планеты, — большая полуось и эксцентриситет ее орбиты, — наклон планеты относительно плоскости Лапласа (см. ч. IV, § 1.01). Интегралы (10.3.24) и (10.3.25) впервые были найдены Лапласом.

Анализируя эти интегралы, Лаплас доказал теорему об «устойчивости» планетных орбит в первом приближении.

Теорема Лапласа. Пусть выполняются следующие условия:

1) двиоюение всех планет происходит в одном направлении (каждое слагаемое в интегралах (10.3.24) и (10.3.25) положительно)

2) массы всех планет одного порядка

3) большие полуоси орбит являются колеблющимися и ограниченными функциями времени мало изменяющимися около некоторых средних значений-,

4) в некоторый начальный момент времени все эксцентриситеты и наклоны малы.

Тогда являются малыми функциями для всех ).

Теорема Лапласа, конечно, не позволяет сделать вывод о том, что гипотетическая планетная система (и, в частности, Солнечная система) устойчива в смысле Лагранжа для так как, во-первых, строго не известно, выполняется ли условие 3) для всех [известно лишь, что в первом и во втором приближении большие полуоси не имеют вековых возмущений (см. § 3.09)], а во-вторых, интегралы (10.3.24) и (10.3.25) являются интегралами приближенных уравнений.

Теорема Лапласа в сочетании с теорией вековых возмущений второго порядка позволяет лишь утверждать, что на конечном хотя, быть может, и весьма большом промежутке времени (тем большем, чем меньше массы планет) движение планет имеет условно-периодический характер. Такие движения Арнольд назвал лагранжевыми движениями в планетной задаче [36] (они, естественно, отличны от лагранжевых равновесных решений). Существенное добавление к решению проблемы устойчивости принадлежит Арнольду.

Теорема Арнольда [80]. Если массы планет, эксцентриситеты и наклоны их орбит достаточно малы при некотором то для большинства начальных условий движение планет имеет условно-периодический характер для всех вещественных значений времени и мало отличается от лагранжева движения с подходящими начальными условиями.

Условно-периодические решения порождаются начальными условиями, принадлежащими области определенной формулой Для начальных условий, принадлежащих области — область, в которой происходит движение планет, определена формулой (10.1.44)], вопрос о существовании условно-периодических движений остается открытым. Правда, при этом мера может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с мерой

Таким образом, теорема Арнольда позволяет утверждать, что движения в планетной задаче устойчивы в смысле Лагранжа для большинства начальных условий не только в первом, но и в любом приближении.

Если определить вероятность устойчивости в смысле Лагранжа планетной системы как

то можно утверждать, что движение планет устойчиво с вероятностью Р, сколь угодно близкой к единице.

Замечание не влечет за собой устойчивость в смысле Лагранжа планетной системы, так как в этом случае остается множество меры нуль, которое может, вообще говоря, порождать неограниченные движения.

Замечание 2. Теорема Арнольда доказывается при условии, что области, в которых происходит движение каждой планеты, не пересекаются. Это условие необходимо и в классической теории возмущений.