§ 2.11. Поиск частных, первых и общих интегралов заданной аналитической структуры обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ. Приложение к ограниченной задаче трех тел

Пусть имеется -мерное дифференциальное уравнение

где — точки -мерного евклидова пространства — скалярная независимая переменная, Введем в рассмотрение -мерное евклидово пространство

и обозначим через множество начальных точек Пусть, кроме того, все интегральные кривые, порожденные начальной областью для всех составляют многообразие

Очевидно,

Будем считать, что вектор удовлетворяет в М условиям теоремы Коши [104].

Наряду с уравнением (10.2.41) рассмотрим систему функциональных равенств

Пусть таковы, что при любом наборе вещественных параметров они определены на многообразии М вместе со своими частными производными и имеют априори заданную аналитическую структуру, содержащую неизвестные параметры

Правомерна постановка следующих задач.

Задача 1. Пусть , следовательно, система (10.2.42) сводится к одному функциональному равенству с неизвестными параметрами ат. Найти критерий, основанный на методах численного интегрирования, позволяющий утверждать, что равенство (10.2.42) является частным интегралом уравнения (10.2.41).

Задача 2. Ее формулировка подобна формулировке задачи 1 с той лишь разницей, что вместо частного интеграла отыскивается первый интеграл уравнения (10.2.41).

Задача 3. Пусть Найти критерий, позволяющий утверждать, что система функциональных равенств (10.2.42) представляет общий интеграл уравнения (10.2.41).

Методы решения задач 1—3 изложены в [117]. Электронно-вычислительные машины используются для составления и решения функциональных уравнений, неизвестными в которых суть . Эффективность этих методов целиком определяется возможностями математического обеспечения ЭВМ.

С помощью таких методов было доказано, в частности, что не может быть представлена [118] в виде отношения двух полиномов от тригонометрических и гиперболических функций , где — эллиптические переменные (см. ч. V, §§ 2.07, 2.08).