§ 1.02. Метод Ляпунова

Определение. Векторное автономное дифференциальное уравнение

в котором постоянная вещественная матрица А имеет вид

и n-мерная вектор-функция является голоморфной относительно х в некоторой -мерной области называется системой Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если уравнению (10.1.15) возможно удовлетворить рядами

коэффициенты которых являются тригонометрическими многочленами вида

(с- произвольная постоянная), то ряды (10.1.17) абсолютно сходятся при всяком если и поэтому они представляют периодическое решение уравнения (10.1.15). Период Т является аналитической функцией с в области Со — некоторая положительная достаточно малая постоянная.

Очевидно, что теорема Ляпунова устанавливает существование континуального множества периодических решений уравнения (10.1.15), так как При доказательстве этой теоремы [3], [5], [7], [8] и развивается метод отыскания периодических решений, названный именем Ляпунова. Этот общий метод отыскания периодических решений получил развитие в работах [3], [8]-[11].

Эффективность метода Ляпунова значительно больше в тех задачах, к которым применима теорема Ляпунова о голоморфном интеграле [5], [7], [8].

Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле. Пусть собственные значения матрицы А (10.1.16) не равны числам и вектор-функция является голоморфной в области относительно х, разложение которой начинается с членов не ниже второго порядка. Пусть, кроме того, система Ляпунова (10.1.15) имеет голоморфный, не зависящий от интеграл, в котором совокупность членов второго порядка содержит компоненты n-мерного вектора х.

Тогда система А. М. Ляпунова (10.1.15) всегда имеет периодическое решение вида (10.1.17) — (10.1.20).