§ 3.04. Знакопостоянные и знакоопределенные функции. Полная производная в силу системы

Рассмотрим полицилиндр -мерном пространстве есть -мерное евклидово пространство, Пусть вещественная непрерывная скалярная функция задана в К.

Определение 1 [32]. называется знакопостоянной (знакопостоянно положительной или знакопостоянно отрицательной) в К, если

при

Определение называется знакоопределенно положительной в К, если существует непрерывная функция при такая, что

Определение называется знакоопределенно отрицательной в К, если существует непрерывная функция при такая, что

Определение Функция имеет бесконечно малый высший предел при если для любого существует такое, что

при

Из определения 4 следует, что допускающая бесконечно малый высший предел при ограничена в полицилиндре

Пусть имеется система дифференциальных уравнений

такая, что и вектор-функция непрерывна вместе с частными производными первого порядка в полицилиндре Очевидно, что уравнение (10.3.16) допускает тривиальное решение Будем его называть невозмущенным движением, а всякое другое решение — возмущенным движением.

Если система (10.3.16) имеет частное решение то с помощью замены

она преобразуется в систему

имеющую тривиальное решение

Отсюда следует, что задача об устойчивости произвольного частного решения эквивалентна задаче об устойчивости тривиального решения.

Пусть, кроме того, вещественная функция непрерывна вместе с частными производными первого порядка в полицилиндре К.

Определение 5 [7]. Функция определяемая равенством

называется полной производной по времени функции в силу системы (10.3.16).