§ 5.04. Присоединенные функции Лежандра

Определение. Присоединенной функцией Лежандра 1-го рода называется следующая функция комплексного переменного:

Присоединенную функцию Лежандра 1-го рода можно определить также с помощью соотношения (для целых )

Присоединенная функция Лежандра является одним из линейно независимых решений дифференциального уравнения

рассматриваемого в комплексной области, если

Если где натуральное, а то гипергеометрический ряд, входящий в выражение присоединенной функции Лежандра 1-го рода, обращается в обобщенный полином

Присоединенные функции Лежандра удовлетворяют условиям ортогональности

Важное свойство полиномов Лежандра выражается соотношением

Равенство (4.5.50) представляет собой теорему сложения для полиномов Лежандра.

Рекуррентные соотношения, интегральные представления и асимптотические разложения для присоединенных функций Лежандра можно найти в [13], [15].