§ 5.10. Теневая функция
В 1963 г. Ферраз-Мелло предложил ввести так называемую теневую функцию. Эта функция равна единице, когда спутник освещен Солнцем, и равна нулю, когда он находится в тени. Если умножить правые части дифференциальных уравнений для элементов на эту функцию, то они будут описывать движение спутника с учетом теневого эффекта.
1. Теневая функция Ферраз-Мелло. Рассмотрим рис. 79, на котором О — центр Земли, 
— часть орбиты спутника, 
— ось тени. Предполагая, что тень имеет цилиндрическую форму, имеем
и, кроме того,
где Н — угол между радиусом-вектором спутника и радиусом-вектором Солнца, а 
— средний радиус Земли.
Рис. 79. Эффект тени. Геометрическая картина.
Обозначим через 
- теневую функцию. Тогда будем иметь 
Разложим эту функцию в ряд Фурье:
где
Разбивая промежуток интегрирования 
на 
и 
и имея в виду (6.5.45), находим
Поэтому
2. Теневая функция Лалы — Сехнала. Пусть
Эта функция удовлетворяет условию
П. Лала и Л. Сехнал разлагают 
в ряд по степеням 
. Сначала они представляют 
в виде
где
и окончательно
где 
суть некоторые численные коэффициенты.
3. Теневая функция Вашковьяк. С. Н. Вашковьяк разлагает функцию в ряд по полиномам Лежандра
где
Если вычислить эти коэффициенты, то формулу (6.5.48) можно представить в виде
4. Дифференциальные уравнения для элементов. Дифференциальные уравнения для элементов с учетом теневого эффекта
записываются в виде (см. § 3.05)
где 
дается формулой (6.3.54), а 
возмущающая функция, обусловленная световым давлением.
5. Замечания. Наиболее правильно геометрическую картину представляет, по-видимому, формула (6.5.47). Формула (6.5.49) дает картину, аналогичную формуле (6.5.46). Однако функция С. Н. Вашковьяк удобна в том отношении, что она достаточно просто может быть выражена через элементы орбиты. Дело здесь заключается в том, что выражение для 
часто встречается и в других задачах небесной механики и для него уже имеется соответствующее разложение.
Используя свое представление теневой функции, Ферраз-Мелло 
развил общую теорию возмущений с учетом нескольких первых членов разложения 
. П. Лала и Л. Сехнал [80], [81] разработали подробную полуаналитическую теорию короткопериодических возмущений. С. Н. Вашковьяк [82] построила теорию долгопериодических возмущений с учетом любого числа членов теневой функции. Эти две теории могут быть с успехом использованы для практических целей.
