§ 1.02. Первые интегралы уравнений невозмущенного кеплеровского движения

Дифференциальные уравнения (2.1.04) допускают следующие первые интегралы.

Интегралы площадей:

где произвольные постоянные (постоянные площадей).

Интеграл энергии (живой силы):

где — произвольная постоянная (постоянная энергии или постоянная живой силы).

Если через V обозначить скорость тела Р относительно то интеграл энергии можно записать в виде

Интегралы Лапласа:

где произвольные постоянные (постоянные Лапласа). Интегралы Лапласа можно также записать в виде

Между постоянными интегрирования имеют место две следующие зависимости:

Поэтому из семи приведенных здесь интегралов только пять являются независимыми.

Вектор момента количества движения и вектор Лапласа. Равенства (2.1.19) показывают, что постоянные суть проекции вектора момента количества движения (на единицу массы) тела Р на координатные оси. Модуль этого вектора (в дальнейшем будем его называть постоянной площадей) равен

а его направляющие косинусы относительно осей у, z будут

Рассмотрим вектор , проекции которого на координатные оси равны Этот вектор, модуль которого

а направляющие косинусы суть

называется вектором Лапласа.

Из равенства (2.1.24) следует, что вектор момента количества движения и вектор Лапласа перпендикулярны друг к другу.