§ 1.01. Понятие функционала

Определение 1. Пусть У — множество (или пространство) функций некоторое множество чисел Функционалом называется однозначное отображение функционального множества У на числовое множество Множество У называется областью определения для функционала является аргументом функционала (см. [2], [3], [45]).

Определение 2. Вариацией аргумента функционала называется

Аналогично определяются вариации производных аргумента, если - дифференцируема на

Кроме того, имеют место равенства

Определение 3. Функциональное пространство называется метрическим, если для него определено расстояние (введена метрика). Расстоянием между двумя

произвольными элементами множества У называется некоторая функция, удовлетворяющая следующим условиям:

а) для любых .

б) при для любого ;

в) для любых (неравенство треугольника (см. [3]).

Здесь в качестве расстояния между элементами пространства У примем

Число может равняться 0, 1, 2 и т. д.

Определение 4. Функционал называется непрерывным на кривой в смысле близости порядка, если для любого существует такое число что при выполняется неравенство

Определение 5. Функционал называется линейным, если

Пусть У есть -мерная область в -мерном пространстве фазовых координат — множество -мерных функций управляющих изменением фазового вектора (декартово произведение

Определение 6. Пара вектор-функций называется минимизирующей парой или минималью, если она доставляет минимальное значение функционалу -мерная область называется областью допустимых функций. Пара доставляющая экстремум функционалу называется экстремалью (см. [37], [38]).

Пусть из можно выделить такое подмножество допустимых функций, принадлежащих однопараметрическому семейству где — параметр, что при получаем минималь

Определение 7. Первой вариацией функционала , определенной на однопараметрическом семействе называется функционал

Аналогично определяется вариация порядка:

Вариационное исчисление занимается исследованием экстремальных значений различных функционалов, однако для астродинамики наиболее важными являются методы, позволяющие находить экстремумы функционалов не на произвольных функциональных множествах У, а на множестве решений некоторой системы дифференциальных уравнений вида

где -мерный фазовый вектор, определяющий положение движущегося объекта, -мерный управляющий вектор.