§ 1.08. Сглаживание табличных значений функций

Пусть в результате измерений или вычислений получена таблица значений функции в узлах причем эти значения обладают случайными ошибками. Ставится задача исправить эту таблицу и получить «сглаженные» значения исходной функции в узлах, освобожденные в известной мере от случайных ошибок. Эта задача решается путем построения аппроксимирующей сглаживающей функции При этом в качестве обычно выбирается среднеквадратичное наилучшее приближение функции рассмотренное в предыдущем параграфе. Соответствующие значения в узлах являются искомыми «сглаженными» значениями.

В частности, если узлы равноотстоящие и аппроксимирующая функция строится по каждым пяти соседним значениям исходной функции с помощью полиномов (см. формулу (7.1.35)), то сглаженные значения для пятерки узлов выражаются

следующими формулами через значения исходной функции в этих узлах:

Формулы (7.1.37) можно записать в ином виде, используя таблицу разностей функции а именно:

где — четвертая разность в строке, соответствующей узлу

Отсюда вытекает следующий упрощенный метод сглаживания с помощью четвертых разностей. А именно, после того, как в каждой строке вычислены четвертые разности эти разности, умноженные на 3/35, вычитаются из соответствующих значений функции Таблица исправленных в каждой строке значений отвечает более гладкой кривой.