§ 3.03. Определение базис-вектора и p-траектории. Определение функций переключения

Определение. Вектор с компонентами [см. (8.3.19)] называется базис-вектором траектории [20].

Пользуясь обобщенными уравнениями Эйлера — Лагранжа (8.3.20), можно показать [20], что вектор тяги Т коллинеарен базис-вектору

Определение. Годограф базис-вектора называется -траекторией.

Определение. Функция, определяющая порядок составления экстремалей из частичных участков (дуг), называется функцией переключения [53], [54].

Можно различать функцию переключения величины тяги и функцию переключения направления тяги

Аналитический вид функций существенно зависит от решаемой задачи и от участка оптимальной траектории.

Анализ обобщенных уравнений Эйлера — Лагранжа, выполненный Миеле [55], Лейтманом [56], Миеле и Капеллари [57], Фридом [58], Лбуденом [18], [20], [59], [60] и другими авторами, показывает, что оптимальная траектория (экстремаль) может состоять в общем случае из дуг следующих типов: участки нулевой тяги и функция переключения величины тяги неположительна, участки промежуточной тяги функция переключения величины тяги равна нулю, и участки максимальной тяги функция переключения величины тяги неотрицательна, Для двумерных (или большей размерности) оптимальных траекторий функция переключения направления тяги неотрицательна,

Лоуден показал [20], что базис-вектор удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению

где векторный оператор V определяется формулой

— единичные векторы.

Лоуден также вывел [20] равенства, связывающие функцию переключения величины тяги с базис-вектором и массой ракеты. На участке нулевой тяги функцию можно определить из равенства

На участке максимальной тяги определяете из дифференциального соотношения

Равенства (8.3.22) и (8.3.23) определяют явную зависимость функции переключения величины тяги от времени если решены обобщенные уравнения Эйлера — Лагранжа (8.3.20), а и М найдены как функции времени

Если ускорение обусловленное внешней силой, не зависит от времени, то уравнение (8.3.21) имеет первый интеграл

На участке нулевой тяги и на участке промежуточной тяги интеграл (8.3.24) принимает вид

причем С сохраняет значение на всей оптимальной траектории.

Замечание. если время перелета нефиксировано и подлежит оптимизации [20].