§ 7.02. Метод Ганзена

Основная идея метода Ганзена состоит в том, что рассмотрение возмущенного движения планеты Р разделяется на следующие этапы: сначала можно интегрировать уравнения в прямоугольных координатах Ганзена (4.1.18) или в полярных координатах Ганзена (4.1.43), т. е. сначала можно изучить возмущенное движение точки Р в плоскости оскулирующей орбиты XY (см. рис. 62). Затем можно рассмотреть уравнения, определяющие положение плоскости оскулирующей орбиты XY относительно плоскости далее в долготу (см. рис. 63) необходимо внести поправки, обусловленные движением оскулирующей плоскости. Для планет Солнечной системы эти поправки достаточно малы.

Существо метода Ганзена состоит в следующем (подробности см. в [2]).

Связь между сферическими координатами и координатами Ганзена выражается формулами (см. рис. 62)

Если вместо и подставить то венства (4.7.16) нарушатся, но это «нарушение» будет порядка возмущающих масс. Обозначим через поправки к правым частям соответствующих формул (4.7.16), ликвидирующие нарушение равенств, а через Г — поправку к которая вообще является функцией и Кроме того, положим

Тогда будем иметь строгие равенства:

Обозначим через и поправки к величинам, характеризующим некоторый вспомогательный эллипс, лежащий в плоскости оскулирующей орбиты, и введем их, согласно Ганзену, с помощью соотношений

Здесь — постоянные величины, параметры вспомогательного эллипса, — истинная и эксцентрическая аномалии, — радиус-вектор вспомогательного эллипса, — возмущенная средняя аномалия.

Вспомогательный эллипс выбирается таким образом, чтобы точка с истинной аномалией лежала на возмущенном радиусе-векторе Тогда — долгота планеты Р, отсчитываемая от начальной точки, а — радиус-вектор и истинная аномалия той точки вспомогательного эллипса, в которой возмущенный радиус-вектор пересекает этот эллипс.

Таким образом, для полного решения возмущенной задачи по методу Ганзена необходимо определить как функции времени, а также выяснить смысл величин (долгота перигелия вспомогательного эллипса) и постоянных, появляющихся в процессе интегрирования.

Для определения возмущенной средней аномалии и величины имеются интегральные соотношения

где — произвольные постоянные,

причем

Величины можно рассматривать как некоторую систему оскулирующих элементов. Величина х (см. рис. 62) представляет долготу мгновенного перигелия, отсчитываемую от оси X.

Выясним смысл величины входящей в равенство (4.7.21). Функция зависит от времени двояким образом: через посредство параметров вспомогательного эллипса и через посредство оскулирующих элементов. Обозначим «первое время» через а для «второго времени» сохраним прежнее обозначение Символом будем обозначать производную по функции рассматриваемой как функция двух переменных и в которой после дифференцирования снова заменено на

Обозначим и рассматриваемые как функции соответственно через и Тогда

В (4.7.24) — те же самые функции от , что и от

В (4.7.21) величина означает производную по , в которой после дифференцирования заменено на

Решение интегральных уравнений (4.7.20) и (4.7.21) возможно получить методом последовательных приближений. В первом приближении и определяются из соотношений

где

Здесь и — эллиптические значения, зависящие от невозмущенной средней аномалии.

Замечание. Вычисление возмущений высшего порядка в и подробно рассмотрено в [2]. Для решения этой задачи необходимо прежде всего выразить функцию через компоненты возмущающих сил, далее нобходимо получить явное выражение для как функции оскулирующих элементов и параметров вспомогательного эллипса и, наконец, выбрать удачную независимую переменную интегрирования. Чаще всего — это время или эксцентрическая аномалия возмущаемого, тела. Как и в методе Хилла, важно установить зависимость между постоянными интегрирования.

Неизвестные величины определяются из равенств

где

Вспомогательная величина Г определяется из соотношения.

в котором — компонента возмущающей силы, перпендикулярной к плоскости оскулирующей орбиты.