Глава 3. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ НЕВОЗМУЩЕННОГО КЕПЛЕРОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ

При рассмотрении невозмущенного кемеровского движения, а также в теории возмущений (ч. IV, гл. 6) возникает необходимость в явных выражениях координат невозмущенного движения (а также различных функций от координат) через время, истинную, эксцентрическую и среднюю аномалии. В подавляющем большинстве случаев этого удается добиться только при помощи различного рода разложений в ряды (в первую очередь тригонометрические). Способы разложения в ряды описаны во многих курсах небесной механики, например, в [1] — [5]. Коэффициенты наиболее употребительных рядов табулированы [17], [18].

Ниже приводятся основные разложения, чаще всего используемые на практике.

§ 3.01. Разложение функций эксцентрической аномалии в тригонометрические ряды по кратным средней аномалии

Общее решение задачи двух тел (см. формулы гл. 2) дает координаты тела Р в виде неявных функций времени. Приведенные в главе 2 формулы позволяют достаточно просто вычислять координаты и составляющие скорости для всех типов невозмущенного движения. Однако в некоторых случаях необходимо иметь выражения для координат в виде явных функций времени. Поскольку связь между координатами и временем устанавливается через посредство вспомогательных переменных типа эксцентрической аномалии Е, связанных со временем при помощи трансцендентных уравнений, такие выражения могут быть получены только в виде рядов.

В небесной механике известны два вида разложений координат эллиптического движения, пригодных для исследования движения на всем бесконечном промежутке времени.

а) Разложения в тригонометрические ряды по кратным средней аномалии М. Коэффициентами этих рядов являются некоторые функции эксцентриситета е. Эти ряды сходятся (но не абсолютно!) для всех М при и для всех М при (абсолютно), где

называется пределом Лапласа.

б) Разложение в ряды по степеням эксцентриситета. Коэффициенты этих рядов суть некоторые периодические функции М. Ряды эти абсолютно сходятся для всех М и для всех не превосходящих предела Лапласа.

Коэффициенты тригонометрических рядов только в редких случаях могут быть выражены через элементарные функции. В общем случае они довольно просто выражаются через функции Бесселя. На практике, однако, как правило, приходится разлагать функции Бесселя в ряды по степеням эксцентриситета и пользоваться только их первыми членами.

Приведем разложения наиболее часто употребляемых функций эксцентрической аномалии в ряды Фурье по кратным средней аномалии.

1) Разложение для эксцентрической аномалии:

2) Разложение для

3) Разложение для

где — целое число, большее единицы.

4) Разложение для радиуса-вектора

5) Разложение для обратной величины радиуса-вектора:

6) Разложения для орбитальных координат

В приведенных разложениях функции Бесселя даются следующей формулой:

Приведем явные выражения для некоторых первых коэффициентов

Для вычисления функций Бесселя при других значениях полезно иметь в виду рекуррентные формулы (4.5.35) и (4.5.36).