§ 3.02. Задачи Баррара, Винти и Кислика
В этом параграфе будет рассмотрен другой тип аппроксимирующих выражений для потенциала притяжения Земли. Эти выражения были предложены Р. Барраром [29], Дж. Винти [30] и М. Д. Кисликом [31]. Все они обладают двумя важнейшими свойствами. Во-первых, они отличаются от потенциала реальной Земли членами порядка выше первого относительно сжатия. Во-вторых, дифференциальные уравнения движения в гравитационном поле, определяемом аппроксимирующими потенциалами, строго интегрируются в квадратурах. В отличие от промежуточных потенциалов, рассмотренных в предыдущих параграфах, они зависят только от постоянных гравитационного поля Земли, и не зависят от элементов орбиты спутника. Возмущающая функция в этом случае не содержит второй зональной гармоники.
Если отбросить тессеральные и секториальные гармоники, то потенциал притяжения Земли можно записать в виде
где 
— полином Лежандра 
порядка.
1. Задача Баррара. Задача Р. Баррара заключается в изучении движения спутника в гравитационном поле с потенциалом
где
Предполагая, что 
— малая величина, разложим V в ряд по степеням 
Тогда
где
а 
- некоторая функция, имеющая третий порядок малости относительно 
Выберем 
так, чтобы
Тогда первые два члена формулы (6.3.15) будут соответственно равны первым двум членам формулы (6.3.13).
Если через 
обозначить возмущающую функцию
то из (6.3.13) и (6.3.15) находим
Таким образом, функция V отличается от 
членами порядка 
, следовательно, дает достаточно хорошее приближение к потенциалу притяжения Земли.
Чтобы проинтегрировать дифференциальные уравнения движения в силовом поле с потенциалом У, введем сферические координаты 
по формулам
так что
Тогда
Сопоставление формул (6.3.18) и (6.3.12) показывает, что соответствующее уравнение Гамильтона — Якоби должно интегрироваться методом разделения переменных.
Первые интегралы задачи Баррара можно записать в виде
Формулы, описывающие промежуточную орбиту Р. Баррара, получены в уже указанной работе [29]. Они приводятся также в книге [27].
2. Задача Винти и Кислика. Дж. Винти и М. Д. Кислик предложили новые аппроксимирующие выражения для потенциала притяжения Земли. Эти выражения, в сущности совпадающие друг с другом, можно представить следующей формулой:
Сравнивая формулу (6.3.19) с (6.3.13), мы видим, что первые два члена в разложении V в точности совпадают с первыми двумя членами в разложении 
Если обозначить через 
возмущающую функцию, то
где
Поскольку коэффициенты 
имеют второй порядок малости относительно 
то из формул (6.3.20) и (6.3.21) видно, что возмущающая функция содержит лишь члены второго порядка. В этом отношении формула (6.3.19), несомненно, имеет явное преимущество по сравнению с формулой (6.3.14).
Дифференциальные уравнения задачи Винти и Кйслика могут быть проинтегрированы в сфероидальных координатах 
связанных с 
равенствами
Первые интегралы задачи записываются в следующем виде:
где
— канонические постоянные Якоби.
3. Замечания. Хотя задача Баррара и представляет интерес и могла бы найти приложения при изучении движения далеких спутников, нужно все же подчеркнуть особую важность задачи Винти и Кислика. Здесь мы имеем интегрируемую динамическую проблему, которая имеет важнейшие приложения в современной небесной механике, как в теории движения ИСЗ, так и в теории движения естественных спутников планет.
Промежуточная орбита, основанная на задаче Винти и Кислика, исследовалась не только авторами, но и многими другими. Рабочие формулы для вычисления промежуточной орбиты были получены Дж. Винти [30], [32], М. Д. Кисликом [31], [33] и И. Ижаком [34].
