§ 2.03. Теорема Пуанкаре о несуществовании однозначных аналитических первых интегралов гамильтоновой системы

Пусть имеется гамильтонова система порядка

где функция Гамильтона обладает свойствами:

1) непрерывна и однозначна относительно аргумента — скалярный параметр) в -мерной области

2) аналитична относительно при

3) периодична относительно у.

В силу условий можно представить рядом

сходящимся при для любых же Теорема Пуанкаре. Если и гессиан то уравнения (10.2.07), кроме первого

интеграла не имеют в области вообще говоря, другого однозначного аналитического интеграла (см. [2]).

Исключительные случаи, когда могут существовать другие однозначные аналитические интегралы системы (10.2.07), также исследованы Пуанкаре [2].

Из теоремы Пуанкаре следует, что в планетном варианте задачи трех тел не существует других однозначных интегралов, кроме интеграла энергии и интегралов площадей. Результаты Пуанкаре были распространены Пенлеве на задачу тел. Подробно эти вопросы изложены в учебнике Г. Н. Дубошина [5].