§ 1.06. Почти периодические функции и их свойства. Условно-периодические функции

Определение 1. Функция непрерывная на всей вещественной оси, называется почти периодической в смысле Бора, если для любого существует положительное число такое, что любой отрезок (а — любое вещественное число) содержит по меньшей мере одно число для которого

Число называется -почти-периодом функции

Класс почти периодических функций достаточно хорошо изучен в исследованиях П. Боля и Г. Бора и эти результаты изложены в [32]-[34]. Мы приведем лишь те свойства почти периодических функций, которые чаще всего нужны в небесной механике.

Свойство 1. Пусть а есть -мерный постоянный вектор, есть -мерная почти периодическая вектор-функция (его компоненты — почти периодические функции). Тогда скалярная функция

является почти периодической.

В частности, тригонометрический полином вида

с вещественными является почти периодической функцией.

Свойство 2. Пусть - почти периодические функции. Тогда

— также почти периодическая функция.

Свойство 3. Пусть - почти периодические функции, причем

Тогда

— также почти периодическая функция.

Свойство 4. Если производная почти периодической функции равномерно непрерывна на всей вещественной оси то она почти периодическая функция.

Свойство 5. Пусть — почти периодическая функция,

и

Тогда является почти периодической функцией.

Свойство 6. Всякая почти периодическая функция имеет конечное интегральное среднее

Свойство 7. Интеграл от всякой почти периодической функции представим в виде

где — среднее значение функции - почти периодическая функция.

Определение 2. Спектральной функцией для почти периодической функции называется функция

Свойство 8. Для любой почти периодической функции ее спектральная функция не равна нулю лишь для конечной или счетной последовательности

Определение 3. Числа для которых называются показателями Фурье почти периодической функции а числа называются ее коэффициентами Фурье. Множество всех показателей Фурье называется спектром почти периодической функции.

Определение 4. Рядом Фурье почти периодической функции называется тригонометрический ряд

где

Множество — спектр функции

Определение 5. Если среди показателей Фурье кг, почти периодической функции существуют такие показа телей что все остальные представляются в виде суммы

где — целые числа, то такая почти периодическая функция называется условно-периодической.

Совокупность называется частотным базисом условно-периодической функции.

Очевидно, что условно-периодическую функцию можно представить рядом Фурье вида

где есть -мерный частотный базис, есть -мерный целочисленный вектор, норма которого

Этот частный случай почти периодических функций наиболее распространен в небесной механике.