§ 3.02. Выражения для производных от координат по элементам (или по функциям элементов)

Укажем формулы для производных принимая в качестве несколько наиболее употребляемых в этой задаче систем параметров (элементов или функций элементов) для орбит различных типов.

1. В случае эллиптических орбит с довольно значительным эксцентриситетом но не близким к единице, принимают

так что

Параметры эквивалентны элементам и представляют собой углы поворота плоскости орбиты вокруг осей соответственно, а — большая полуось, эксцентриситет, средняя аномалия в эпоху

Приведем таблицу выражений для производных х, у, z по (табл. 42), где — среднее движение,

В каждом столбце выписаны производные координат по соответствующему элементу: во втором столбце по в третьем столбце по

Таблица 42

Эта таблица является одновременно таблицей коэффициентов в формулах (3.3.02) при соответствующих Например, строка производных позволяет записать первую из формул (3.3.02) в виде (индекс опускаем)

После вычисления поправок можно найти поправки к значениям обычных элементов по формулам

где

(Величины суть поправки углов поворота плоскости орбиты вокруг осей эклиптической системы координат.)

Значения находятся проще всего с помощью интерполяционных формул (см. ч. VII, гл. 1) по таблицам прямоугольных координат, вычисленных для равноотстоящих моментов времени.

2. В случае эллиптических орбит с малыми эксцентриситетами используются параметры

так что

Таблица для производных координат по или же для коэффициентов формул (3.2.02) отличается от табл. 42 только одним столбцом, соответствующим и приведенным в табл. 43.

3. При произвольных эксцентриситетах и наклонах эллиптических орбит могут быть использованы параметры

где — компоненты вектора в системе координат плоскость которой совпадает с плоскостью орбиты, а ось х направлена в перигелий.

Таблица 43

Соотношения между и приращениями элементов следующие:

Производные даются в табл. 44.

Таблица 44

где — компоненты векторных элементов орбиты (см. § 1.04) и — направляющие косинусы перпендикуляра к орбите в экваториальной системе координат. Соотношения между и выражаются формулами (3.1.15), (3.2.46), (3.2.47).

Таблица 45

4. При улучшении эллиптических или гиперболических орбит с эксцентриситетом, близким к единице, используются параметры

где х — момент прохождения через перигелий, — перигелийное расстояние и а — большая или действительная полуось. Величина представляет собой с точностью до множителя постоянную энергии (для гиперболы принимаем здесь

Производные от х, у, z по те же, что и в табл. 42. Производные по Ее даются в табл. 45, где

— параметр орбиты, — гелиоцентрическое расстояние, — произведение постоянной тяготения на массу Солнца.

Так как то после нахождения получим исправленные значения по формулам

5. Если предварительная орбита является параболической, а уточненная орбита может быть как эллиптической, так и гиперболической, то принимаются или те же параметры, что и в пункте 4, т. е.

или

с учетом, что для предварительной орбиты

После определения поправок при использовании параметров (3.3.13) находят по формуле

так что при уточненная орбита будет эллиптической, а при — гиперболической.

Значение а находят по формуле

Выражения для производных по записываются в том же виде, что и в табл. 45, а величины вычисляются по формулам

причем а находится из уравнения

Если используется система параметров (3.3.14), то производные х, у, z по следует взять из табл. 46 (остальные про изводные по те же, что и в табл. 42, 45 соответственно),

Таблица 46

где

6. Вместо параметров или во всех приведенных выше системах можно ввести сами элементы

Таблица 47

Если заменить этими элементами параметры в системах (3.3.04), (3.3.11), (3.3.13), то следует воспользоваться значениями производных от х, у, z по из табл. 47, где — наклон эклиптики к экватору,

Если ввести элементы вместо в систему (3.3.08) или вместо в систему (3.3.09), то будем иметь

Производные от по останутся такими же, как и в табл. 47, а производные по со представлены в табл. 48.

Если элементы отнесены к экватору, то в формулах следует положить

Таблица 48