§ 1.05. Периодические решения, полученные качественными методами

Методы Ляпунова и Пуанкаре (§§ 1.01, 1.02) суть аналитические методы построения периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Второе направление — это установление существования периодических решений методами качественной теории.

Первая работа подобного характера принадлежит Е. Уиттекеру [27] и опирается на рассмотрение действия в смысле Якоби для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. В этом случае положение точки в рассматриваемой динамической системе определяется двумя позиционными координатами и любая траектория точки является плоской. Критерий Уиттекера состоит в том [27], [58], что рассматривается некоторое плоское кольцо на плоскости и значение, построенной специальным образом, функции на внутренней и внешней границах кольца. Эта функция (назовем ее функцией Уиттекера) имеет следующую аналитическую структуру:

где -силовая функция, А — полная энергия системы, — радиус кривизны контура С, проходящего через заданные две точки траектории, у — угол наклона нормали, проведенной в точке контура С к оси

Критерий Уиттекера. Если во всех точках внутренней границы кольца а во всех точках внешней границы то в данном кольце имеется периодическая траектория динамической системы, соответствующая данному значению полной энергии.

А. Синьорини [101] и Л. Тонелли [102] обобщили критерий Уиттекера на случай обратимых (автономных) динамических систем, а Дж. Биркгоф [100] распространил критерий Уиттекера на неавтономные динамические системы с двумя степенями свободы.

Основываясь на этом критерии, Н. Д. Моисеев [28], [29] установил существование четырех семейств периодических решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел Солнце — Юпитер — астероид. С помощью критерия Уиттекера Н. Моисеев нашел кольцевые области, в которых располагаются периодические решения. Н. Ф. Рейн разработала [103] метод нахождения периода периодического решения в ограниченной задаче трех тел, аналитическая структура которого неизвестна. В теории движения ИСЗ критерий Уиттекера был применен В. Г. Деминым [31].

Пуанкаре принадлежит первый вариант знаменитой теоремы [96], [97] о неподвижной точке, однако в приложениях получила большее распространение другая формулировка теоремы о неподвижной точке, принадлежащая Дж. Биркгофу [98], [99]. Зигель дал новое доказательство [6] теоремы Биркгофа, сопровождаемое более точными необходимыми оценками для отображаемых областей и для постоянных.

Теоремы А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа о неподвижной точке применялись Биркгофом [100], Зигелем [6] и Ю. Мозером [30] для доказательства существования новых семейств (отличных от решений первого сорта Пуанкаре) почти круговых решений ограниченной круговой задачи трех тел.

Оригинальные результаты принадлежат А. Д. Брюно [143]. Исследование окрестности тора качественными аналитическими и численными методами позволило удачно систематизировать ранее известные и новые полученные им классы периодических и условно-периодическнх решений ограниченной круговой задачи трех тел.