§ 2.05. Периодические решения ограниченной круговой задачи трех тел
Приведенные в § 2.03 лагранжевы решения ограниченной круговой задачи трех тел являются примером периодических орбит. Но этим не исчерпываются все известные периодические решения ограниченной круговой задачи.
Периодические орбиты можно было бы объединить в следующие классы:
а) периодические решения в окрестности точек либрации 
(почти либрационные решения);
б) периодические орбиты в окрестности одной из притягивающих масс (спутниковые орбиты);
в) периодические решения Пуанкаре первого сорта;
г) периодические решения Пуанкаре второго сорта;
д) периодические решения Пуанкаре третьего сорта;
е) периодические решения других сортов.
Классы а) и б) периодических орбит были в первом приближении получены без использования методов Ляпунова и Пуанкаре отыскания периодических решений и были известны задолго до Ляпунова и Пуанкаре.
Рассмотрим более подробно почти либрационные решения в окрестности точки (или 
).
Ради простоты положим 
Тогда лагранжево периодическое решение, изображаемое точкой 
дается формулами
Для исследования решений ограниченной круговой задачи трех тел введем новые переменные 
Тогда вместо уравнений (5.2.01) будем иметь уравнения
где
Если разложитьв ряды по степеням 
и сохранить в них лишь линейные члены, то получаем дифференциальные уравнения первого приближения. В частности, для плоского случая будем иметь
В переменных 
связанных с 
формулами преобразования
где
уравнения (5.2.35) записываются в виде
Общее решение системы (5.2.38) имеет вид [2]
где 
— произвольные постоянные, а
если 
являются корнями характеристического уравнения
и
причем
Условия (5.2.41) и (5.2.42) указывают на то, что лагранжево треугольное решение 
устойчиво в смысле Ляпунова в первом приближении (см. ч. X, гл. 3).
Если 
то общее решение уравнений (5.2.38) будет содержать неограниченные функции времени, поэтому в этом случае точка либрации 
неустойчива в смысле Ляпунова (см. ч. X, гл. 3).
Замечание 1. Эти выводы в равной мере относятся и к точке либрации 
Замечание 2. Точки либрации 
неустойчивы в смысле Ляпунова даже в первом приближении [1].
Полученные Пуанкаре [16] периодические решения классов в), г) и д) характеризуются тем, что их периоды совпадают с периодом «порождающего» решения, т. е. решения уравнений движения при нулевом значении малого параметра.
Различия между ними следующие:
1) решения первого сорта — это плоские почти круговые периодические решения;
2) решения второго сорта — плоские почти эллиптические периодические решения;
3) решения третьего сорта — пространственные периодические решения.
Для решений первого сорта оскулирующий эксцентриситет пропорционален 
[см. (5.2.40)] и поэтому обращается в нуль вместе с 
, а для решений второго сорта 
при 
Пуанкаре доказал, что такие периодические решения имеются и в неограниченной задаче трех тел.
К периодическим решениям класса е) можно отнести периодические орбиты с периодом, отличным от периода порождающего решения. Такими являются периодические решения Шварцшильда [17]. Эти вопросы подробно рассмотрены в фундаментальном сочинении Пуанкаре [16], а также в книгах Г. Н. Дубошина [3], Ф. Мультона [18], Г. А. Чеботарева [19] и К. Зигеля [20].
Кроме аналитических методов для отыскания периодических решений ограниченной круговой задачи трех тел применялись и численные методы. Эти результаты, сопровождаемые подробной библиографией, можно найти в монографии В. Себехея [21].
