§ 5.06. Цилиндрические функции. Функции Бесселя

Определение. Функцией Бесселя порядка X называется функция

является аналитической функцией при всех комплексных значениях (кроме, быть может, и аналитической функцией К для всех X. Функция Бесселя называется также цилиндрической функцией рода.

Если X — натуральное число, то вместо (4.5.59) будем иметь

При справедливо соотношение

Если — натуральное число, то функция Бесселя является коэффициентом разложения

Функция называется производящей функцией для функций Бесселя.

Простейшие функции Бесселя суть

Через эти две функции можно выразить функции Бесселя всех других целых порядков. Для этой цели следует воспользоваться рекуррентными соотношениями, связывающими функции Бесселя: Кроме того, справедлива формула

Для функций Бесселя имеют место следующие интегральные представления-.

Лгп-н

Функция Бесселя является частным решением уравнения Бесселя

а функция Бесселя есть частное решение уравнения (также называемого уравнением Бесселя)

Свойство ортогональности: если вещественное число то

Для вещественных функция Бесселя имеет бесчисленное множество вещественных корней. Если — два различных положительных корня уравнения то получаем второе свойство ортогональности функций Бесселя

Пусть - общее решение уравнения Бесселя (4.5.69). Тогда имеют место рекуррентные соотношения

В частности,

Теоремы сложения и умножения для функций Бесселя:

в частности,

При имеем

Наиболее употребляемые в приложениях асимптотические представления для функций Бесселя:

или

В теории движения ИСЗ с учетом возмущений от сопротивления атмосферы используются функции Бесселя от мнимого аргумента (или модифицированной функции Бесселя). Они могут быть определены с помощью формулы

Функция связана с функциями Бесселя от аргумента

Функции Бесселя от мнимого аргумента удовлетворяют дифференциальному уравнению

Для них справедливы следующие рекуррентные соотношения:

Интегральное представление для функции Бесселя от мнимого аргумента имеет вид

Можно также пользоваться асимптотическим представлением этих функций

Функции Бесселя, порядок которых равен половине нечетного числа, выражаются через элементарные функции. В частности,

Кроме функций Бесселя к цилиндрическим функциям относят функции Неймана (или функции Бесселя 2-го рода) и функции Ганкеля.

Функцией Неймана порядка называется функция

а функциями Ганкеля 1-го и 2-го рода называются соответственно комбинации

Описание других свойств цилиндрических функций вообще и функций Бесселя, в частности, можно найти в [13] — [16].